ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsub1 Structured version   GIF version

Theorem ltsub1 7200
Description: Subtraction from both sides of 'less than'. (Contributed by FL, 3-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltsub1 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B ↔ (A𝐶) < (B𝐶)))

Proof of Theorem ltsub1
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → A ℝ)
2 simp3 905 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℝ)
3 simp2 904 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℝ)
43, 2resubcld 7127 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (B𝐶) ℝ)
5 ltsubadd 7174 . . 3 ((A 𝐶 (B𝐶) ℝ) → ((A𝐶) < (B𝐶) ↔ A < ((B𝐶) + 𝐶)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1134 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A𝐶) < (B𝐶) ↔ A < ((B𝐶) + 𝐶)))
73recnd 6803 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℂ)
82recnd 6803 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℂ)
97, 8npcand 7074 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → ((B𝐶) + 𝐶) = B)
109breq2d 3766 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < ((B𝐶) + 𝐶) ↔ A < B))
116, 10bitr2d 178 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B ↔ (A𝐶) < (B𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  cr 6662   + caddc 6666   < clt 6809  cmin 6931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-addcom 6735  ax-addass 6737  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-cnre 6746  ax-pre-ltadd 6751
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-br 3755  df-opab 3809  df-id 4020  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-ltxr 6814  df-sub 6933  df-neg 6934
This theorem is referenced by:  lt2sub  7202  ltsub1d  7292  addltmul  7888
  Copyright terms: Public domain W3C validator