Theorem icoshft 8628

Description: A shifted real is a member of a shifted, closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
icoshft	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (A[,)B) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))

Proof of Theorem icoshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 6868	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℝ → B ∈ ℝ*)
2		elico2 8576	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (A[,)B) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B)))
3	1, 2	sylan2 270	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (A[,)B) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B)))
4	3	biimpd 132	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (A[,)B) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B)))
5	4	3adant3 923	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (A[,)B) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B)))
6		3anass 888	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B)))
7	5, 6	syl6ib 150	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (A[,)B) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ (A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B))))
8		leadd1 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A ≤ 𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
9	8	3com12 1107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A ≤ 𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
10	9	3expib 1106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((A ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A ≤ 𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
11	10	com12 27	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (A ≤ 𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
12	11	3adant2 922	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (A ≤ 𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
13	12	imp 115	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (A ≤ 𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
14		ltadd1 7219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)))
15	14	3expib 1106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
16	15	com12 27	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
17	16	3adant1 921	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
18	17	imp 115	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)))
19	13, 18	anbi12d 442	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B) ↔ ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
20	19	pm5.32da 425	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)))))
21		readdcl 6805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	expcom 109	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ))
23	22	anim1d 319	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)))))
24		3anass 888	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
25	23, 24	syl6ibr 151	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
26	25	3ad2ant3 926	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
27		readdcl 6805	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A + 𝐶) ∈ ℝ)
28	27	3adant2 922	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A + 𝐶) ∈ ℝ)
29		readdcl 6805	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B + 𝐶) ∈ ℝ)
30	29	3adant1 921	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B + 𝐶) ∈ ℝ)
31		rexr 6868	. . . . . . 7 ⊢ ((B + 𝐶) ∈ ℝ → (B + 𝐶) ∈ ℝ*)
32		elico2 8576	. . . . . . 7 ⊢ (((A + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (B + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
33	31, 32	sylan2 270	. . . . . 6 ⊢ (((A + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (B + 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
34	33	biimprd 147	. . . . 5 ⊢ (((A + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (B + 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
35	28, 30, 34	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
36	26, 35	syld 40	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
37	20, 36	sylbid 139	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < B)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
38	7, 37	syld 40	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (A[,)B) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710   + caddc 6714  ℝ^*cxr 6856   < clt 6857   ≤ cle 6858  [,)cico 8529

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-ico 8533

This theorem is referenced by:  icoshftf1o  8629