Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icoshft GIF version

Theorem icoshft 8858
 Description: A shifted real is a member of a shifted, closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
icoshft ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem icoshft
StepHypRef Expression
1 rexr 7071 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 elico2 8806 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋 < 𝐵)))
31, 2sylan2 270 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋 < 𝐵)))
43biimpd 132 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋 < 𝐵)))
543adant3 924 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋 < 𝐵)))
6 3anass 889 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋 < 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋𝑋 < 𝐵)))
75, 6syl6ib 150 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋𝑋 < 𝐵))))
8 leadd1 7425 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
983com12 1108 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
1093expib 1107 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
1110com12 27 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
12113adant2 923 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
1312imp 115 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
14 ltadd1 7424 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
15143expib 1107 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
1615com12 27 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
17163adant1 922 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
1817imp 115 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
1913, 18anbi12d 442 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑋𝑋 < 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
2019pm5.32da 425 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋𝑋 < 𝐵)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
21 readdcl 7007 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
2221expcom 109 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ))
2322anim1d 319 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
24 3anass 889 . . . . . 6 (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
2523, 24syl6ibr 151 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
26253ad2ant3 927 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
27 readdcl 7007 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
28273adant2 923 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
29 readdcl 7007 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
30293adant1 922 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
31 rexr 7071 . . . . . . 7 ((𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
32 elico2 8806 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
3331, 32sylan2 270 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
3433biimprd 147 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
3528, 30, 34syl2anc 391 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
3626, 35syld 40 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
3720, 36sylbid 139 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋𝑋 < 𝐵)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
387, 37syld 40 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888   + caddc 6892  ℝ*cxr 7059   < clt 7060   ≤ cle 7061  [,)cico 8759 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-ico 8763 This theorem is referenced by:  icoshftf1o  8859
 Copyright terms: Public domain W3C validator