Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icoshft Structured version   GIF version

Theorem icoshft 8608
 Description: A shifted real is a member of a shifted, closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
icoshft ((A B 𝐶 ℝ) → (𝑋 (A[,)B) → (𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))

Proof of Theorem icoshft
StepHypRef Expression
1 rexr 6848 . . . . . 6 (B ℝ → B *)
2 elico2 8556 . . . . . 6 ((A B *) → (𝑋 (A[,)B) ↔ (𝑋 A𝑋 𝑋 < B)))
31, 2sylan2 270 . . . . 5 ((A B ℝ) → (𝑋 (A[,)B) ↔ (𝑋 A𝑋 𝑋 < B)))
43biimpd 132 . . . 4 ((A B ℝ) → (𝑋 (A[,)B) → (𝑋 A𝑋 𝑋 < B)))
543adant3 923 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝑋 (A[,)B) → (𝑋 A𝑋 𝑋 < B)))
6 3anass 888 . . 3 ((𝑋 A𝑋 𝑋 < B) ↔ (𝑋 (A𝑋 𝑋 < B)))
75, 6syl6ib 150 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝑋 (A[,)B) → (𝑋 (A𝑋 𝑋 < B))))
8 leadd1 7200 . . . . . . . . . 10 ((A 𝑋 𝐶 ℝ) → (A𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
983com12 1107 . . . . . . . . 9 ((𝑋 A 𝐶 ℝ) → (A𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
1093expib 1106 . . . . . . . 8 (𝑋 ℝ → ((A 𝐶 ℝ) → (A𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
1110com12 27 . . . . . . 7 ((A 𝐶 ℝ) → (𝑋 ℝ → (A𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
12113adant2 922 . . . . . 6 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝑋 ℝ → (A𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
1312imp 115 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) 𝑋 ℝ) → (A𝑋 ↔ (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
14 ltadd1 7199 . . . . . . . . 9 ((𝑋 B 𝐶 ℝ) → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)))
15143expib 1106 . . . . . . . 8 (𝑋 ℝ → ((B 𝐶 ℝ) → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
1615com12 27 . . . . . . 7 ((B 𝐶 ℝ) → (𝑋 ℝ → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
17163adant1 921 . . . . . 6 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝑋 ℝ → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
1817imp 115 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) 𝑋 ℝ) → (𝑋 < B ↔ (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)))
1913, 18anbi12d 442 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) 𝑋 ℝ) → ((A𝑋 𝑋 < B) ↔ ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
2019pm5.32da 425 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝑋 (A𝑋 𝑋 < B)) ↔ (𝑋 ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)))))
21 readdcl 6785 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝐶 ℝ) → (𝑋 + 𝐶) ℝ)
2221expcom 109 . . . . . . 7 (𝐶 ℝ → (𝑋 ℝ → (𝑋 + 𝐶) ℝ))
2322anim1d 319 . . . . . 6 (𝐶 ℝ → ((𝑋 ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)))))
24 3anass 888 . . . . . 6 (((𝑋 + 𝐶) (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
2523, 24syl6ibr 151 . . . . 5 (𝐶 ℝ → ((𝑋 ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
26253ad2ant3 926 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝑋 ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
27 readdcl 6785 . . . . . 6 ((A 𝐶 ℝ) → (A + 𝐶) ℝ)
28273adant2 922 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → (A + 𝐶) ℝ)
29 readdcl 6785 . . . . . 6 ((B 𝐶 ℝ) → (B + 𝐶) ℝ)
30293adant1 921 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → (B + 𝐶) ℝ)
31 rexr 6848 . . . . . . 7 ((B + 𝐶) ℝ → (B + 𝐶) *)
32 elico2 8556 . . . . . . 7 (((A + 𝐶) (B + 𝐶) *) → ((𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
3331, 32sylan2 270 . . . . . 6 (((A + 𝐶) (B + 𝐶) ℝ) → ((𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))))
3433biimprd 147 . . . . 5 (((A + 𝐶) (B + 𝐶) ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
3528, 30, 34syl2anc 391 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) (A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
3626, 35syld 40 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝑋 ((A + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) (𝑋 + 𝐶) < (B + 𝐶))) → (𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
3720, 36sylbid 139 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝑋 (A𝑋 𝑋 < B)) → (𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
387, 37syld 40 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝑋 (A[,)B) → (𝑋 + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6690   + caddc 6694  ℝ*cxr 6836   < clt 6837   ≤ cle 6838  [,)cico 8509 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-ico 8513 This theorem is referenced by:  icoshftf1o  8609
 Copyright terms: Public domain W3C validator