Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccneg GIF version

Theorem iccneg 8627
 Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
iccneg ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 (A[,]B) ↔ -𝐶 (-B[,]-A)))

Proof of Theorem iccneg
StepHypRef Expression
1 renegcl 7068 . . . . 5 (𝐶 ℝ → -𝐶 ℝ)
2 ax-1 5 . . . . 5 (𝐶 ℝ → (-𝐶 ℝ → 𝐶 ℝ))
31, 2impbid2 131 . . . 4 (𝐶 ℝ → (𝐶 ℝ ↔ -𝐶 ℝ))
433ad2ant3 926 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 ℝ ↔ -𝐶 ℝ))
5 ancom 253 . . . 4 ((𝐶B A𝐶) ↔ (A𝐶 𝐶B))
6 leneg 7255 . . . . . . 7 ((𝐶 B ℝ) → (𝐶B ↔ -B ≤ -𝐶))
76ancoms 255 . . . . . 6 ((B 𝐶 ℝ) → (𝐶B ↔ -B ≤ -𝐶))
873adant1 921 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶B ↔ -B ≤ -𝐶))
9 leneg 7255 . . . . . 6 ((A 𝐶 ℝ) → (A𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -A))
1093adant2 922 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → (A𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -A))
118, 10anbi12d 442 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝐶B A𝐶) ↔ (-B ≤ -𝐶 -𝐶 ≤ -A)))
125, 11syl5bbr 183 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A𝐶 𝐶B) ↔ (-B ≤ -𝐶 -𝐶 ≤ -A)))
134, 12anbi12d 442 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝐶 (A𝐶 𝐶B)) ↔ (-𝐶 (-B ≤ -𝐶 -𝐶 ≤ -A))))
14 elicc2 8577 . . . 4 ((A B ℝ) → (𝐶 (A[,]B) ↔ (𝐶 A𝐶 𝐶B)))
15143adant3 923 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 (A[,]B) ↔ (𝐶 A𝐶 𝐶B)))
16 3anass 888 . . 3 ((𝐶 A𝐶 𝐶B) ↔ (𝐶 (A𝐶 𝐶B)))
1715, 16syl6bb 185 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 (A[,]B) ↔ (𝐶 (A𝐶 𝐶B))))
18 renegcl 7068 . . . . 5 (B ℝ → -B ℝ)
19 renegcl 7068 . . . . 5 (A ℝ → -A ℝ)
20 elicc2 8577 . . . . 5 ((-B -A ℝ) → (-𝐶 (-B[,]-A) ↔ (-𝐶 -B ≤ -𝐶 -𝐶 ≤ -A)))
2118, 19, 20syl2anr 274 . . . 4 ((A B ℝ) → (-𝐶 (-B[,]-A) ↔ (-𝐶 -B ≤ -𝐶 -𝐶 ≤ -A)))
22213adant3 923 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (-𝐶 (-B[,]-A) ↔ (-𝐶 -B ≤ -𝐶 -𝐶 ≤ -A)))
23 3anass 888 . . 3 ((-𝐶 -B ≤ -𝐶 -𝐶 ≤ -A) ↔ (-𝐶 (-B ≤ -𝐶 -𝐶 ≤ -A)))
2422, 23syl6bb 185 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (-𝐶 (-B[,]-A) ↔ (-𝐶 (-B ≤ -𝐶 -𝐶 ≤ -A))))
2513, 17, 243bitr4d 209 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 (A[,]B) ↔ -𝐶 (-B[,]-A)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710   ≤ cle 6858  -cneg 6980  [,]cicc 8530 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-icc 8534 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator