Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icoshftf1o Structured version   GIF version

Theorem icoshftf1o 8629
 Description: Shifting a closed-below, open-above interval is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icoshftf1o.1 𝐹 = (x (A[,)B) ↦ (x + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
icoshftf1o ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐹:(A[,)B)–1-1-onto→((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)))
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐹(x)

Proof of Theorem icoshftf1o
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoshft 8628 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (x (A[,)B) → (x + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
21ralrimiv 2385 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → x (A[,)B)(x + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)))
3 readdcl 6805 . . . . . . . . 9 ((A 𝐶 ℝ) → (A + 𝐶) ℝ)
433adant2 922 . . . . . . . 8 ((A B 𝐶 ℝ) → (A + 𝐶) ℝ)
5 readdcl 6805 . . . . . . . . 9 ((B 𝐶 ℝ) → (B + 𝐶) ℝ)
653adant1 921 . . . . . . . 8 ((A B 𝐶 ℝ) → (B + 𝐶) ℝ)
7 renegcl 7068 . . . . . . . . 9 (𝐶 ℝ → -𝐶 ℝ)
873ad2ant3 926 . . . . . . . 8 ((A B 𝐶 ℝ) → -𝐶 ℝ)
9 icoshft 8628 . . . . . . . 8 (((A + 𝐶) (B + 𝐶) -𝐶 ℝ) → (y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) → (y + -𝐶) (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶))))
104, 6, 8, 9syl3anc 1134 . . . . . . 7 ((A B 𝐶 ℝ) → (y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) → (y + -𝐶) (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶))))
1110imp 115 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (y + -𝐶) (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶)))
126rexrd 6872 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℝ) → (B + 𝐶) *)
13 icossre 8593 . . . . . . . . . 10 (((A + 𝐶) (B + 𝐶) *) → ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ⊆ ℝ)
144, 12, 13syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ⊆ ℝ)
1514sselda 2939 . . . . . . . 8 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → y ℝ)
1615recnd 6851 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → y ℂ)
17 simpl3 908 . . . . . . . 8 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → 𝐶 ℝ)
1817recnd 6851 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → 𝐶 ℂ)
1916, 18negsubd 7124 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (y + -𝐶) = (y𝐶))
204recnd 6851 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℝ) → (A + 𝐶) ℂ)
21 simp3 905 . . . . . . . . . . 11 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℝ)
2221recnd 6851 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℂ)
2320, 22negsubd 7124 . . . . . . . . 9 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A + 𝐶) + -𝐶) = ((A + 𝐶) − 𝐶))
24 simp1 903 . . . . . . . . . . 11 ((A B 𝐶 ℝ) → A ℝ)
2524recnd 6851 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℝ) → A ℂ)
2625, 22pncand 7119 . . . . . . . . 9 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A + 𝐶) − 𝐶) = A)
2723, 26eqtrd 2069 . . . . . . . 8 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A + 𝐶) + -𝐶) = A)
286recnd 6851 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℝ) → (B + 𝐶) ℂ)
2928, 22negsubd 7124 . . . . . . . . 9 ((A B 𝐶 ℝ) → ((B + 𝐶) + -𝐶) = ((B + 𝐶) − 𝐶))
30 simp2 904 . . . . . . . . . . 11 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℝ)
3130recnd 6851 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℂ)
3231, 22pncand 7119 . . . . . . . . 9 ((A B 𝐶 ℝ) → ((B + 𝐶) − 𝐶) = B)
3329, 32eqtrd 2069 . . . . . . . 8 ((A B 𝐶 ℝ) → ((B + 𝐶) + -𝐶) = B)
3427, 33oveq12d 5473 . . . . . . 7 ((A B 𝐶 ℝ) → (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶)) = (A[,)B))
3534adantr 261 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶)) = (A[,)B))
3611, 19, 353eltr3d 2117 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (y𝐶) (A[,)B))
37 reueq 2732 . . . . 5 ((y𝐶) (A[,)B) ↔ ∃!x (A[,)B)x = (y𝐶))
3836, 37sylib 127 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → ∃!x (A[,)B)x = (y𝐶))
3915adantr 261 . . . . . . . 8 ((((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) x (A[,)B)) → y ℝ)
4039recnd 6851 . . . . . . 7 ((((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) x (A[,)B)) → y ℂ)
41 simpll3 944 . . . . . . . 8 ((((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) x (A[,)B)) → 𝐶 ℝ)
4241recnd 6851 . . . . . . 7 ((((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) x (A[,)B)) → 𝐶 ℂ)
43 simpl1 906 . . . . . . . . . 10 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → A ℝ)
44 simpl2 907 . . . . . . . . . . 11 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → B ℝ)
4544rexrd 6872 . . . . . . . . . 10 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → B *)
46 icossre 8593 . . . . . . . . . 10 ((A B *) → (A[,)B) ⊆ ℝ)
4743, 45, 46syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (A[,)B) ⊆ ℝ)
4847sselda 2939 . . . . . . . 8 ((((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) x (A[,)B)) → x ℝ)
4948recnd 6851 . . . . . . 7 ((((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) x (A[,)B)) → x ℂ)
5040, 42, 49subadd2d 7137 . . . . . 6 ((((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) x (A[,)B)) → ((y𝐶) = x ↔ (x + 𝐶) = y))
51 eqcom 2039 . . . . . 6 (x = (y𝐶) ↔ (y𝐶) = x)
52 eqcom 2039 . . . . . 6 (y = (x + 𝐶) ↔ (x + 𝐶) = y)
5350, 51, 523bitr4g 212 . . . . 5 ((((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) x (A[,)B)) → (x = (y𝐶) ↔ y = (x + 𝐶)))
5453reubidva 2486 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (∃!x (A[,)B)x = (y𝐶) ↔ ∃!x (A[,)B)y = (x + 𝐶)))
5538, 54mpbid 135 . . 3 (((A B 𝐶 ℝ) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → ∃!x (A[,)B)y = (x + 𝐶))
5655ralrimiva 2386 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))∃!x (A[,)B)y = (x + 𝐶))
57 icoshftf1o.1 . . 3 𝐹 = (x (A[,)B) ↦ (x + 𝐶))
5857f1ompt 5263 . 2 (𝐹:(A[,)B)–1-1-onto→((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ↔ (x (A[,)B)(x + 𝐶) ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) y ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))∃!x (A[,)B)y = (x + 𝐶)))
592, 56, 58sylanbrc 394 1 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐹:(A[,)B)–1-1-onto→((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃!wreu 2302   ⊆ wss 2911   ↦ cmpt 3809  –1-1-onto→wf1o 4844  (class class class)co 5455  ℝcr 6710   + caddc 6714  ℝ*cxr 6856   − cmin 6979  -cneg 6980  [,)cico 8529 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-ico 8533 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator