Theorem icoshftf1o 8589

Description: Shifting a closed-below, open-above interval is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoshftf1o.1	⊢ 𝐹 = (x ∈ (A[,)B) ↦ (x + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
icoshftf1o	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(A[,)B)–1-1-onto→((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(x)

Proof of Theorem icoshftf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoshft 8588	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (x ∈ (A[,)B) → (x + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))))
2	1	ralrimiv 2385	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀x ∈ (A[,)B)(x + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)))
3		readdcl 6765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A + 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3adant2 922	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A + 𝐶) ∈ ℝ)
5		readdcl 6765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B + 𝐶) ∈ ℝ)
6	5	3adant1 921	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B + 𝐶) ∈ ℝ)
7		renegcl 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant3 926	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐶 ∈ ℝ)
9		icoshft 8588	. . . . . . . 8 ⊢ (((A + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (B + 𝐶) ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) → (y + -𝐶) ∈ (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶))))
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) → (y + -𝐶) ∈ (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶))))
11	10	imp 115	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (y + -𝐶) ∈ (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶)))
12	6	rexrd 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B + 𝐶) ∈ ℝ*)
13		icossre 8553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (B + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ⊆ ℝ)
14	4, 12, 13	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ⊆ ℝ)
15	14	sselda 2939	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → y ∈ ℝ)
16	15	recnd 6811	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → y ∈ ℂ)
17		simpl3 908	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17	recnd 6811	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 7084	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (y + -𝐶) = (y − 𝐶))
20	4	recnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A + 𝐶) ∈ ℂ)
21		simp3 905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	20, 22	negsubd 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((A + 𝐶) + -𝐶) = ((A + 𝐶) − 𝐶))
24		simp1 903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → A ∈ ℝ)
25	24	recnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → A ∈ ℂ)
26	25, 22	pncand 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((A + 𝐶) − 𝐶) = A)
27	23, 26	eqtrd 2069	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((A + 𝐶) + -𝐶) = A)
28	6	recnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B + 𝐶) ∈ ℂ)
29	28, 22	negsubd 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((B + 𝐶) + -𝐶) = ((B + 𝐶) − 𝐶))
30		simp2 904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → B ∈ ℝ)
31	30	recnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → B ∈ ℂ)
32	31, 22	pncand 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((B + 𝐶) − 𝐶) = B)
33	29, 32	eqtrd 2069	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((B + 𝐶) + -𝐶) = B)
34	27, 33	oveq12d 5473	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶)) = (A[,)B))
35	34	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (((A + 𝐶) + -𝐶)[,)((B + 𝐶) + -𝐶)) = (A[,)B))
36	11, 19, 35	3eltr3d 2117	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (y − 𝐶) ∈ (A[,)B))
37		reueq 2732	. . . . 5 ⊢ ((y − 𝐶) ∈ (A[,)B) ↔ ∃!x ∈ (A[,)B)x = (y − 𝐶))
38	36, 37	sylib 127	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → ∃!x ∈ (A[,)B)x = (y − 𝐶))
39	15	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) ∧ x ∈ (A[,)B)) → y ∈ ℝ)
40	39	recnd 6811	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) ∧ x ∈ (A[,)B)) → y ∈ ℂ)
41		simpll3 944	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) ∧ x ∈ (A[,)B)) → 𝐶 ∈ ℝ)
42	41	recnd 6811	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) ∧ x ∈ (A[,)B)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43		simpl1 906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → A ∈ ℝ)
44		simpl2 907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → B ∈ ℝ)
45	44	rexrd 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → B ∈ ℝ*)
46		icossre 8553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ*) → (A[,)B) ⊆ ℝ)
47	43, 45, 46	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (A[,)B) ⊆ ℝ)
48	47	sselda 2939	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) ∧ x ∈ (A[,)B)) → x ∈ ℝ)
49	48	recnd 6811	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) ∧ x ∈ (A[,)B)) → x ∈ ℂ)
50	40, 42, 49	subadd2d 7097	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) ∧ x ∈ (A[,)B)) → ((y − 𝐶) = x ↔ (x + 𝐶) = y))
51		eqcom 2039	. . . . . 6 ⊢ (x = (y − 𝐶) ↔ (y − 𝐶) = x)
52		eqcom 2039	. . . . . 6 ⊢ (y = (x + 𝐶) ↔ (x + 𝐶) = y)
53	50, 51, 52	3bitr4g 212	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) ∧ x ∈ (A[,)B)) → (x = (y − 𝐶) ↔ y = (x + 𝐶)))
54	53	reubidva 2486	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → (∃!x ∈ (A[,)B)x = (y − 𝐶) ↔ ∃!x ∈ (A[,)B)y = (x + 𝐶)))
55	38, 54	mpbid 135	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))) → ∃!x ∈ (A[,)B)y = (x + 𝐶))
56	55	ralrimiva 2386	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))∃!x ∈ (A[,)B)y = (x + 𝐶))
57		icoshftf1o.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (x ∈ (A[,)B) ↦ (x + 𝐶))
58	57	f1ompt 5263	. 2 ⊢ (𝐹:(A[,)B)–1-1-onto→((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ↔ (∀x ∈ (A[,)B)(x + 𝐶) ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)) ∧ ∀y ∈ ((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶))∃!x ∈ (A[,)B)y = (x + 𝐶)))
59	2, 56, 58	sylanbrc 394	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(A[,)B)–1-1-onto→((A + 𝐶)[,)(B + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃!wreu 2302   ⊆ wss 2911   ↦ cmpt 3809  –1-1-onto→wf1o 4844  (class class class)co 5455  ℝcr 6670   + caddc 6674  ℝ^*cxr 6816   − cmin 6939  -cneg 6940  [,)cico 8489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-ico 8493

This theorem is referenced by: (None)