ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccshftr GIF version

Theorem iccshftr 8632
Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftr.1 (A + 𝑅) = 𝐶
iccshftr.2 (B + 𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftr (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → (𝑋 (A[,]B) ↔ (𝑋 + 𝑅) (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftr
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . . 5 ((𝑋 𝑅 ℝ) → 𝑋 ℝ)
2 readdcl 6805 . . . . 5 ((𝑋 𝑅 ℝ) → (𝑋 + 𝑅) ℝ)
31, 22thd 164 . . . 4 ((𝑋 𝑅 ℝ) → (𝑋 ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ℝ))
43adantl 262 . . 3 (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → (𝑋 ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ℝ))
5 leadd1 7220 . . . . . 6 ((A 𝑋 𝑅 ℝ) → (A𝑋 ↔ (A + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
653expb 1104 . . . . 5 ((A (𝑋 𝑅 ℝ)) → (A𝑋 ↔ (A + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
76adantlr 446 . . . 4 (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → (A𝑋 ↔ (A + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
8 iccshftr.1 . . . . 5 (A + 𝑅) = 𝐶
98breq1i 3762 . . . 4 ((A + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅))
107, 9syl6bb 185 . . 3 (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → (A𝑋𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅)))
11 leadd1 7220 . . . . . . 7 ((𝑋 B 𝑅 ℝ) → (𝑋B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅)))
12113expb 1104 . . . . . 6 ((𝑋 (B 𝑅 ℝ)) → (𝑋B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅)))
1312an12s 499 . . . . 5 ((B (𝑋 𝑅 ℝ)) → (𝑋B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅)))
1413adantll 445 . . . 4 (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → (𝑋B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅)))
15 iccshftr.2 . . . . 5 (B + 𝑅) = 𝐷
1615breq2i 3763 . . . 4 ((𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅) ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)
1714, 16syl6bb 185 . . 3 (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → (𝑋B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷))
184, 10, 173anbi123d 1206 . 2 (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → ((𝑋 A𝑋 𝑋B) ↔ ((𝑋 + 𝑅) 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
19 elicc2 8577 . . 3 ((A B ℝ) → (𝑋 (A[,]B) ↔ (𝑋 A𝑋 𝑋B)))
2019adantr 261 . 2 (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → (𝑋 (A[,]B) ↔ (𝑋 A𝑋 𝑋B)))
21 readdcl 6805 . . . . . 6 ((A 𝑅 ℝ) → (A + 𝑅) ℝ)
228, 21syl5eqelr 2122 . . . . 5 ((A 𝑅 ℝ) → 𝐶 ℝ)
23 readdcl 6805 . . . . . 6 ((B 𝑅 ℝ) → (B + 𝑅) ℝ)
2415, 23syl5eqelr 2122 . . . . 5 ((B 𝑅 ℝ) → 𝐷 ℝ)
25 elicc2 8577 . . . . 5 ((𝐶 𝐷 ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2622, 24, 25syl2an 273 . . . 4 (((A 𝑅 ℝ) (B 𝑅 ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2726anandirs 527 . . 3 (((A B ℝ) 𝑅 ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2827adantrl 447 . 2 (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2918, 20, 283bitr4d 209 1 (((A B ℝ) (𝑋 𝑅 ℝ)) → (𝑋 (A[,]B) ↔ (𝑋 + 𝑅) (𝐶[,]𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6710   + caddc 6714  cle 6858  [,]cicc 8530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-icc 8534
This theorem is referenced by:  iccshftri  8633  lincmb01cmp  8641
  Copyright terms: Public domain W3C validator