Theorem iccshftr 8632

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftr.1	⊢ (A + 𝑅) = 𝐶
iccshftr.2	⊢ (B + 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftr	⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (A[,]B) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 102	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		readdcl 6805	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 164	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 262	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
5		leadd1 7220	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (A ≤ 𝑋 ↔ (A + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
6	5	3expb 1104	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (A ≤ 𝑋 ↔ (A + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
7	6	adantlr 446	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (A ≤ 𝑋 ↔ (A + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
8		iccshftr.1	. . . . 5 ⊢ (A + 𝑅) = 𝐶
9	8	breq1i 3762	. . . 4 ⊢ ((A + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅))
10	7, 9	syl6bb 185	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (A ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅)))
11		leadd1 7220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅)))
12	11	3expb 1104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (B ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅)))
13	12	an12s 499	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅)))
14	13	adantll 445	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅)))
15		iccshftr.2	. . . . 5 ⊢ (B + 𝑅) = 𝐷
16	15	breq2i 3763	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + 𝑅) ≤ (B + 𝑅) ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)
17	14, 16	syl6bb 185	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ B ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷))
18	4, 10, 17	3anbi123d 1206	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ B) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
19		elicc2 8577	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (A[,]B) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ B)))
20	19	adantr 261	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (A[,]B) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ A ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ B)))
21		readdcl 6805	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (A + 𝑅) ∈ ℝ)
22	8, 21	syl5eqelr 2122	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		readdcl 6805	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (B + 𝑅) ∈ ℝ)
24	15, 23	syl5eqelr 2122	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		elicc2 8577	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
26	22, 24, 25	syl2an 273	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
27	26	anandirs 527	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
28	27	adantrl 447	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	18, 20, 28	3bitr4d 209	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (A[,]B) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710   + caddc 6714   ≤ cle 6858  [,]cicc 8530

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-icc 8534

This theorem is referenced by:  iccshftri  8633  lincmb01cmp  8641