Theorem ioodisj 8631

Description: If the upper bound of one open interval is less than or equal to the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ioodisj	⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem ioodisj

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → B ∈ ℝ*)
2		iooss1 8555	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ* ∧ B ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (B(,)𝐷))
3	1, 2	sylancom 397	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (B(,)𝐷))
4		ioossicc 8598	. . . . 5 ⊢ (B(,)𝐷) ⊆ (B[,]𝐷)
5	3, 4	syl6ss 2951	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (B[,]𝐷))
6		sslin 3157	. . . 4 ⊢ ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (B[,]𝐷) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((A(,)B) ∩ (B[,]𝐷)))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((A(,)B) ∩ (B[,]𝐷)))
8		simplll 485	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → A ∈ ℝ*)
9		simplrr 488	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
10		df-ioo 8531	. . . . 5 ⊢ (,) = (x ∈ ℝ*, y ∈ ℝ* ↦ {z ∈ ℝ* ∣ (x < z ∧ z < y)})
11		df-icc 8534	. . . . 5 ⊢ [,] = (x ∈ ℝ*, y ∈ ℝ* ↦ {z ∈ ℝ* ∣ (x ≤ z ∧ z ≤ y)})
12		xrlenlt 6881	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ* ∧ w ∈ ℝ*) → (B ≤ w ↔ ¬ w < B))
13	10, 11, 12	ixxdisj 8542	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((A(,)B) ∩ (B[,]𝐷)) = ∅)
14	8, 1, 9, 13	syl3anc 1134	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → ((A(,)B) ∩ (B[,]𝐷)) = ∅)
15	7, 14	sseqtrd 2975	. 2 ⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅)
16		ss0 3251	. 2 ⊢ (((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅ → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
17	15, 16	syl 14	1 ⊢ ((((A ∈ ℝ* ∧ B ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ B ≤ 𝐶) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ∩ cin 2910   ⊆ wss 2911  ∅c0 3218   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝ^*cxr 6856   < clt 6857   ≤ cle 6858  (,)cioo 8527  [,]cicc 8530

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-ioo 8531  df-icc 8534

This theorem is referenced by: (None)