Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioodisj GIF version

Theorem ioodisj 8631
 Description: If the upper bound of one open interval is less than or equal to the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
ioodisj ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem ioodisj
Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 486 . . . . . 6 ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → B *)
2 iooss1 8555 . . . . . 6 ((B * B𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (B(,)𝐷))
31, 2sylancom 397 . . . . 5 ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (B(,)𝐷))
4 ioossicc 8598 . . . . 5 (B(,)𝐷) ⊆ (B[,]𝐷)
53, 4syl6ss 2951 . . . 4 ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (B[,]𝐷))
6 sslin 3157 . . . 4 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (B[,]𝐷) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((A(,)B) ∩ (B[,]𝐷)))
75, 6syl 14 . . 3 ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((A(,)B) ∩ (B[,]𝐷)))
8 simplll 485 . . . 4 ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → A *)
9 simplrr 488 . . . 4 ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → 𝐷 *)
10 df-ioo 8531 . . . . 5 (,) = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x < z z < y)})
11 df-icc 8534 . . . . 5 [,] = (x *, y * ↦ {z * ∣ (xz zy)})
12 xrlenlt 6881 . . . . 5 ((B * w *) → (Bw ↔ ¬ w < B))
1310, 11, 12ixxdisj 8542 . . . 4 ((A * B * 𝐷 *) → ((A(,)B) ∩ (B[,]𝐷)) = ∅)
148, 1, 9, 13syl3anc 1134 . . 3 ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → ((A(,)B) ∩ (B[,]𝐷)) = ∅)
157, 14sseqtrd 2975 . 2 ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅)
16 ss0 3251 . 2 (((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅ → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
1715, 16syl 14 1 ((((A * B *) (𝐶 * 𝐷 *)) B𝐶) → ((A(,)B) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ∩ cin 2910   ⊆ wss 2911  ∅c0 3218   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝ*cxr 6856   < clt 6857   ≤ cle 6858  (,)cioo 8527  [,]cicc 8530 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-ioo 8531  df-icc 8534 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator