ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icodisj Structured version   GIF version

Theorem icodisj 8590
Description: End-to-end closed-below, open-above real intervals are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodisj ((A * B * 𝐶 *) → ((A[,)B) ∩ (B[,)𝐶)) = ∅)

Proof of Theorem icodisj
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3120 . . . 4 (x ((A[,)B) ∩ (B[,)𝐶)) ↔ (x (A[,)B) x (B[,)𝐶)))
2 elico1 8522 . . . . . . . . . 10 ((A * B *) → (x (A[,)B) ↔ (x * Ax x < B)))
323adant3 923 . . . . . . . . 9 ((A * B * 𝐶 *) → (x (A[,)B) ↔ (x * Ax x < B)))
43biimpa 280 . . . . . . . 8 (((A * B * 𝐶 *) x (A[,)B)) → (x * Ax x < B))
54simp3d 917 . . . . . . 7 (((A * B * 𝐶 *) x (A[,)B)) → x < B)
65adantrr 448 . . . . . 6 (((A * B * 𝐶 *) (x (A[,)B) x (B[,)𝐶))) → x < B)
7 elico1 8522 . . . . . . . . . . 11 ((B * 𝐶 *) → (x (B[,)𝐶) ↔ (x * Bx x < 𝐶)))
873adant1 921 . . . . . . . . . 10 ((A * B * 𝐶 *) → (x (B[,)𝐶) ↔ (x * Bx x < 𝐶)))
98biimpa 280 . . . . . . . . 9 (((A * B * 𝐶 *) x (B[,)𝐶)) → (x * Bx x < 𝐶))
109simp2d 916 . . . . . . . 8 (((A * B * 𝐶 *) x (B[,)𝐶)) → Bx)
11 simpl2 907 . . . . . . . . 9 (((A * B * 𝐶 *) x (B[,)𝐶)) → B *)
129simp1d 915 . . . . . . . . 9 (((A * B * 𝐶 *) x (B[,)𝐶)) → x *)
13 xrlenlt 6841 . . . . . . . . 9 ((B * x *) → (Bx ↔ ¬ x < B))
1411, 12, 13syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A * B * 𝐶 *) x (B[,)𝐶)) → (Bx ↔ ¬ x < B))
1510, 14mpbid 135 . . . . . . 7 (((A * B * 𝐶 *) x (B[,)𝐶)) → ¬ x < B)
1615adantrl 447 . . . . . 6 (((A * B * 𝐶 *) (x (A[,)B) x (B[,)𝐶))) → ¬ x < B)
176, 16pm2.65da 586 . . . . 5 ((A * B * 𝐶 *) → ¬ (x (A[,)B) x (B[,)𝐶)))
1817pm2.21d 549 . . . 4 ((A * B * 𝐶 *) → ((x (A[,)B) x (B[,)𝐶)) → x ∅))
191, 18syl5bi 141 . . 3 ((A * B * 𝐶 *) → (x ((A[,)B) ∩ (B[,)𝐶)) → x ∅))
2019ssrdv 2945 . 2 ((A * B * 𝐶 *) → ((A[,)B) ∩ (B[,)𝐶)) ⊆ ∅)
21 ss0 3251 . 2 (((A[,)B) ∩ (B[,)𝐶)) ⊆ ∅ → ((A[,)B) ∩ (B[,)𝐶)) = ∅)
2220, 21syl 14 1 ((A * B * 𝐶 *) → ((A[,)B) ∩ (B[,)𝐶)) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cin 2910  wss 2911  c0 3218   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  *cxr 6816   < clt 6817  cle 6818  [,)cico 8489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-le 6823  df-ico 8493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator