Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icodisj GIF version

Theorem icodisj 8860
 Description: End-to-end closed-below, open-above real intervals are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodisj ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)

Proof of Theorem icodisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3126 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
2 elico1 8792 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
323adant3 924 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
43biimpa 280 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
54simp3d 918 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
65adantrr 448 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → 𝑥 < 𝐵)
7 elico1 8792 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
873adant1 922 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
98biimpa 280 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶))
109simp2d 917 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
11 simpl2 908 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
129simp1d 916 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13 xrlenlt 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
1411, 12, 13syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
1510, 14mpbid 135 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
1615adantrl 447 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
176, 16pm2.65da 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
1817pm2.21d 549 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
191, 18syl5bi 141 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
2019ssrdv 2951 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅)
21 ss0 3257 . 2 (((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅ → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
2220, 21syl 14 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ∩ cin 2916   ⊆ wss 2917  ∅c0 3224   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝ*cxr 7059   < clt 7060   ≤ cle 7061  [,)cico 8759 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-le 7066  df-ico 8763 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator