ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxdisj Structured version   GIF version

Theorem ixxdisj 8502
Description: Split an interval into disjoint pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxssixx.1 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
ixxun.2 𝑃 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑇z z𝑈y)})
ixxun.3 ((B * w *) → (B𝑇w ↔ ¬ w𝑆B))
Assertion
Ref Expression
ixxdisj ((A * B * 𝐶 *) → ((A𝑂B) ∩ (B𝑃𝐶)) = ∅)
Distinct variable groups:   x,w,y,z,A   w,𝐶,x,y,z   w,𝑂,x   w,B,x,y,z   w,𝑃   x,𝑅,y,z   x,𝑆,y,z   x,𝑇,y,z   x,𝑈,y,z
Allowed substitution hints:   𝑃(x,y,z)   𝑅(w)   𝑆(w)   𝑇(w)   𝑈(w)   𝑂(y,z)

Proof of Theorem ixxdisj
StepHypRef Expression
1 elin 3120 . . . 4 (w ((A𝑂B) ∩ (B𝑃𝐶)) ↔ (w (A𝑂B) w (B𝑃𝐶)))
2 ixxssixx.1 . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
32elixx1 8496 . . . . . . . . . 10 ((A * B *) → (w (A𝑂B) ↔ (w * A𝑅w w𝑆B)))
433adant3 923 . . . . . . . . 9 ((A * B * 𝐶 *) → (w (A𝑂B) ↔ (w * A𝑅w w𝑆B)))
54biimpa 280 . . . . . . . 8 (((A * B * 𝐶 *) w (A𝑂B)) → (w * A𝑅w w𝑆B))
65simp3d 917 . . . . . . 7 (((A * B * 𝐶 *) w (A𝑂B)) → w𝑆B)
76adantrr 448 . . . . . 6 (((A * B * 𝐶 *) (w (A𝑂B) w (B𝑃𝐶))) → w𝑆B)
8 ixxun.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑇z z𝑈y)})
98elixx1 8496 . . . . . . . . . . 11 ((B * 𝐶 *) → (w (B𝑃𝐶) ↔ (w * B𝑇w w𝑈𝐶)))
1093adant1 921 . . . . . . . . . 10 ((A * B * 𝐶 *) → (w (B𝑃𝐶) ↔ (w * B𝑇w w𝑈𝐶)))
1110biimpa 280 . . . . . . . . 9 (((A * B * 𝐶 *) w (B𝑃𝐶)) → (w * B𝑇w w𝑈𝐶))
1211simp2d 916 . . . . . . . 8 (((A * B * 𝐶 *) w (B𝑃𝐶)) → B𝑇w)
13 simpl2 907 . . . . . . . . 9 (((A * B * 𝐶 *) w (B𝑃𝐶)) → B *)
1411simp1d 915 . . . . . . . . 9 (((A * B * 𝐶 *) w (B𝑃𝐶)) → w *)
15 ixxun.3 . . . . . . . . 9 ((B * w *) → (B𝑇w ↔ ¬ w𝑆B))
1613, 14, 15syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A * B * 𝐶 *) w (B𝑃𝐶)) → (B𝑇w ↔ ¬ w𝑆B))
1712, 16mpbid 135 . . . . . . 7 (((A * B * 𝐶 *) w (B𝑃𝐶)) → ¬ w𝑆B)
1817adantrl 447 . . . . . 6 (((A * B * 𝐶 *) (w (A𝑂B) w (B𝑃𝐶))) → ¬ w𝑆B)
197, 18pm2.65da 586 . . . . 5 ((A * B * 𝐶 *) → ¬ (w (A𝑂B) w (B𝑃𝐶)))
2019pm2.21d 549 . . . 4 ((A * B * 𝐶 *) → ((w (A𝑂B) w (B𝑃𝐶)) → w ∅))
211, 20syl5bi 141 . . 3 ((A * B * 𝐶 *) → (w ((A𝑂B) ∩ (B𝑃𝐶)) → w ∅))
2221ssrdv 2945 . 2 ((A * B * 𝐶 *) → ((A𝑂B) ∩ (B𝑃𝐶)) ⊆ ∅)
23 ss0 3251 . 2 (((A𝑂B) ∩ (B𝑃𝐶)) ⊆ ∅ → ((A𝑂B) ∩ (B𝑃𝐶)) = ∅)
2422, 23syl 14 1 ((A * B * 𝐶 *) → ((A𝑂B) ∩ (B𝑃𝐶)) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  {crab 2304  cin 2910  wss 2911  c0 3218   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cmpt2 5457  *cxr 6816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821
This theorem is referenced by:  ioodisj  8591
  Copyright terms: Public domain W3C validator