ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elixx1 Structured version   GIF version

Theorem elixx1 8496
Description: Membership in an interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
Assertion
Ref Expression
elixx1 ((A * B *) → (𝐶 (A𝑂B) ↔ (𝐶 * A𝑅𝐶 𝐶𝑆B)))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,𝐶,y,z   x,B,y,z   x,𝑅,y,z   x,𝑆,y,z
Allowed substitution hints:   𝑂(x,y,z)

Proof of Theorem elixx1
StepHypRef Expression
1 ixx.1 . . . 4 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
21ixxval 8495 . . 3 ((A * B *) → (A𝑂B) = {z * ∣ (A𝑅z z𝑆B)})
32eleq2d 2104 . 2 ((A * B *) → (𝐶 (A𝑂B) ↔ 𝐶 {z * ∣ (A𝑅z z𝑆B)}))
4 breq2 3759 . . . . 5 (z = 𝐶 → (A𝑅zA𝑅𝐶))
5 breq1 3758 . . . . 5 (z = 𝐶 → (z𝑆B𝐶𝑆B))
64, 5anbi12d 442 . . . 4 (z = 𝐶 → ((A𝑅z z𝑆B) ↔ (A𝑅𝐶 𝐶𝑆B)))
76elrab 2692 . . 3 (𝐶 {z * ∣ (A𝑅z z𝑆B)} ↔ (𝐶 * (A𝑅𝐶 𝐶𝑆B)))
8 3anass 888 . . 3 ((𝐶 * A𝑅𝐶 𝐶𝑆B) ↔ (𝐶 * (A𝑅𝐶 𝐶𝑆B)))
97, 8bitr4i 176 . 2 (𝐶 {z * ∣ (A𝑅z z𝑆B)} ↔ (𝐶 * A𝑅𝐶 𝐶𝑆B))
103, 9syl6bb 185 1 ((A * B *) → (𝐶 (A𝑂B) ↔ (𝐶 * A𝑅𝐶 𝐶𝑆B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  {crab 2304   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cmpt2 5457  *cxr 6816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821
This theorem is referenced by:  elixx3g  8500  ixxssixx  8501  ixxdisj  8502  ixxss1  8503  ixxss2  8504  ixxss12  8505  elioo1  8510  elioc1  8521  elico1  8522  elicc1  8523
  Copyright terms: Public domain W3C validator