ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxf Structured version   GIF version

Theorem ixxf 8497
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by FL, 14-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
Assertion
Ref Expression
ixxf 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
Distinct variable groups:   x,y,z,𝑅   x,𝑆,y,z
Allowed substitution hints:   𝑂(x,y,z)

Proof of Theorem ixxf
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3019 . . . 4 {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)} ⊆ ℝ*
2 xrex 8486 . . . . 5 * V
32elpw2 3902 . . . 4 ({z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)} 𝒫 ℝ* ↔ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)} ⊆ ℝ*)
41, 3mpbir 134 . . 3 {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)} 𝒫 ℝ*
54rgen2w 2371 . 2 x * y * {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)} 𝒫 ℝ*
6 ixx.1 . . 3 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
76fmpt2 5769 . 2 (x * y * {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)} 𝒫 ℝ*𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
85, 7mpbi 133 1 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  {crab 2304  wss 2911  𝒫 cpw 3351   class class class wbr 3755   × cxp 4286  wf 4841  cmpt2 5457  *cxr 6816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821
This theorem is referenced by:  ixxex  8498  ixxssxr  8499  iccf  8571
  Copyright terms: Public domain W3C validator