Theorem ixxf 8497

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by FL, 14-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (x ∈ ℝ*, y ∈ ℝ* ↦ {z ∈ ℝ* ∣ (x𝑅z ∧ z𝑆y)})

Assertion

Ref	Expression
ixxf	⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*

Distinct variable groups:   x,y,z,𝑅   x,𝑆,y,z

Allowed substitution hints:   𝑂(x,y,z)

Proof of Theorem ixxf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3019	. . . 4 ⊢ {z ∈ ℝ* ∣ (x𝑅z ∧ z𝑆y)} ⊆ ℝ*
2		xrex 8486	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
3	2	elpw2 3902	. . . 4 ⊢ ({z ∈ ℝ* ∣ (x𝑅z ∧ z𝑆y)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ {z ∈ ℝ* ∣ (x𝑅z ∧ z𝑆y)} ⊆ ℝ*)
4	1, 3	mpbir 134	. . 3 ⊢ {z ∈ ℝ* ∣ (x𝑅z ∧ z𝑆y)} ∈ 𝒫 ℝ*
5	4	rgen2w 2371	. 2 ⊢ ∀x ∈ ℝ* ∀y ∈ ℝ* {z ∈ ℝ* ∣ (x𝑅z ∧ z𝑆y)} ∈ 𝒫 ℝ*
6		ixx.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (x ∈ ℝ*, y ∈ ℝ* ↦ {z ∈ ℝ* ∣ (x𝑅z ∧ z𝑆y)})
7	6	fmpt2 5769	. 2 ⊢ (∀x ∈ ℝ* ∀y ∈ ℝ* {z ∈ ℝ* ∣ (x𝑅z ∧ z𝑆y)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
8	5, 7	mpbi 133	1 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  {crab 2304   ⊆ wss 2911  𝒫 cpw 3351   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ⟶wf 4841   ↦ cmpt2 5457  ℝ^*cxr 6816

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821

This theorem is referenced by:  ixxex  8498  ixxssxr  8499  iccf  8571