ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxssixx Structured version   GIF version

Theorem ixxssixx 8521
Description: An interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxssixx.1 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
ixx.2 𝑃 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑇z z𝑈y)})
ixx.3 ((A * w *) → (A𝑅wA𝑇w))
ixx.4 ((w * B *) → (w𝑆Bw𝑈B))
Assertion
Ref Expression
ixxssixx (A𝑂B) ⊆ (A𝑃B)
Distinct variable groups:   x,w,y,z,A   w,𝑂,x   w,B,x,y,z   w,𝑃   x,𝑅,y,z   x,𝑆,y,z   x,𝑇,y,z   x,𝑈,y,z
Allowed substitution hints:   𝑃(x,y,z)   𝑅(w)   𝑆(w)   𝑇(w)   𝑈(w)   𝑂(y,z)

Proof of Theorem ixxssixx
StepHypRef Expression
1 ixxssixx.1 . . . 4 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
21elmpt2cl 5640 . . 3 (w (A𝑂B) → (A * B *))
3 simp1 903 . . . . . 6 ((w * A𝑅w w𝑆B) → w *)
43a1i 9 . . . . 5 ((A * B *) → ((w * A𝑅w w𝑆B) → w *))
5 simpl 102 . . . . . 6 ((A * B *) → A *)
6 3simpa 900 . . . . . 6 ((w * A𝑅w w𝑆B) → (w * A𝑅w))
7 ixx.3 . . . . . . 7 ((A * w *) → (A𝑅wA𝑇w))
87expimpd 345 . . . . . 6 (A * → ((w * A𝑅w) → A𝑇w))
95, 6, 8syl2im 34 . . . . 5 ((A * B *) → ((w * A𝑅w w𝑆B) → A𝑇w))
10 simpr 103 . . . . . 6 ((A * B *) → B *)
11 3simpb 901 . . . . . 6 ((w * A𝑅w w𝑆B) → (w * w𝑆B))
12 ixx.4 . . . . . . . 8 ((w * B *) → (w𝑆Bw𝑈B))
1312ancoms 255 . . . . . . 7 ((B * w *) → (w𝑆Bw𝑈B))
1413expimpd 345 . . . . . 6 (B * → ((w * w𝑆B) → w𝑈B))
1510, 11, 14syl2im 34 . . . . 5 ((A * B *) → ((w * A𝑅w w𝑆B) → w𝑈B))
164, 9, 153jcad 1084 . . . 4 ((A * B *) → ((w * A𝑅w w𝑆B) → (w * A𝑇w w𝑈B)))
171elixx1 8516 . . . 4 ((A * B *) → (w (A𝑂B) ↔ (w * A𝑅w w𝑆B)))
18 ixx.2 . . . . 5 𝑃 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑇z z𝑈y)})
1918elixx1 8516 . . . 4 ((A * B *) → (w (A𝑃B) ↔ (w * A𝑇w w𝑈B)))
2016, 17, 193imtr4d 192 . . 3 ((A * B *) → (w (A𝑂B) → w (A𝑃B)))
212, 20mpcom 32 . 2 (w (A𝑂B) → w (A𝑃B))
2221ssriv 2943 1 (A𝑂B) ⊆ (A𝑃B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  {crab 2304  wss 2911   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cmpt2 5457  *cxr 6836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841
This theorem is referenced by:  ioossicc  8578  icossicc  8579  iocssicc  8580  ioossico  8581
  Copyright terms: Public domain W3C validator