ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxss2 Structured version   GIF version

Theorem ixxss2 8504
Description: Subset relationship for intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxssixx.1 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
ixxss2.2 𝑃 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑇y)})
ixxss2.3 ((w * B * 𝐶 *) → ((w𝑇B B𝑊𝐶) → w𝑆𝐶))
Assertion
Ref Expression
ixxss2 ((𝐶 * B𝑊𝐶) → (A𝑃B) ⊆ (A𝑂𝐶))
Distinct variable groups:   x,w,y,z,A   w,𝐶,x,y,z   w,𝑂,x   w,B,x,y,z   w,𝑃   x,𝑅,y,z   x,𝑆,y,z   x,𝑇,y,z   w,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑃(x,y,z)   𝑅(w)   𝑆(w)   𝑇(w)   𝑂(y,z)   𝑊(x,y,z)

Proof of Theorem ixxss2
StepHypRef Expression
1 ixxss2.2 . . . . . . . 8 𝑃 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑇y)})
21elixx3g 8500 . . . . . . 7 (w (A𝑃B) ↔ ((A * B * w *) (A𝑅w w𝑇B)))
32simplbi 259 . . . . . 6 (w (A𝑃B) → (A * B * w *))
43adantl 262 . . . . 5 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → (A * B * w *))
54simp3d 917 . . . 4 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → w *)
62simprbi 260 . . . . . 6 (w (A𝑃B) → (A𝑅w w𝑇B))
76adantl 262 . . . . 5 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → (A𝑅w w𝑇B))
87simpld 105 . . . 4 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → A𝑅w)
97simprd 107 . . . . 5 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → w𝑇B)
10 simplr 482 . . . . 5 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → B𝑊𝐶)
114simp2d 916 . . . . . 6 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → B *)
12 simpll 481 . . . . . 6 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → 𝐶 *)
13 ixxss2.3 . . . . . 6 ((w * B * 𝐶 *) → ((w𝑇B B𝑊𝐶) → w𝑆𝐶))
145, 11, 12, 13syl3anc 1134 . . . . 5 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → ((w𝑇B B𝑊𝐶) → w𝑆𝐶))
159, 10, 14mp2and 409 . . . 4 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → w𝑆𝐶)
164simp1d 915 . . . . 5 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → A *)
17 ixxssixx.1 . . . . . 6 𝑂 = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x𝑅z z𝑆y)})
1817elixx1 8496 . . . . 5 ((A * 𝐶 *) → (w (A𝑂𝐶) ↔ (w * A𝑅w w𝑆𝐶)))
1916, 12, 18syl2anc 391 . . . 4 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → (w (A𝑂𝐶) ↔ (w * A𝑅w w𝑆𝐶)))
205, 8, 15, 19mpbir3and 1086 . . 3 (((𝐶 * B𝑊𝐶) w (A𝑃B)) → w (A𝑂𝐶))
2120ex 108 . 2 ((𝐶 * B𝑊𝐶) → (w (A𝑃B) → w (A𝑂𝐶)))
2221ssrdv 2945 1 ((𝐶 * B𝑊𝐶) → (A𝑃B) ⊆ (A𝑂𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  {crab 2304  wss 2911   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cmpt2 5457  *cxr 6816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821
This theorem is referenced by:  iooss2  8516
  Copyright terms: Public domain W3C validator