ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxss2 GIF version

Theorem ixxss2 8774
Description: Subset relationship for intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxssixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxss2.2 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑇𝑦)})
ixxss2.3 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑇𝐵𝐵𝑊𝐶) → 𝑤𝑆𝐶))
Assertion
Ref Expression
ixxss2 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) → (𝐴𝑃𝐵) ⊆ (𝐴𝑂𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂,𝑥   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑂(𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxss2
StepHypRef Expression
1 ixxss2.2 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑇𝑦)})
21elixx3g 8770 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝑤𝑤𝑇𝐵)))
32simplbi 259 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
43adantl 262 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
54simp3d 918 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
62simprbi 260 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) → (𝐴𝑅𝑤𝑤𝑇𝐵))
76adantl 262 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → (𝐴𝑅𝑤𝑤𝑇𝐵))
87simpld 105 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
97simprd 107 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝑤𝑇𝐵)
10 simplr 482 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐵𝑊𝐶)
114simp2d 917 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 simpll 481 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 ixxss2.3 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑇𝐵𝐵𝑊𝐶) → 𝑤𝑆𝐶))
145, 11, 12, 13syl3anc 1135 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → ((𝑤𝑇𝐵𝐵𝑊𝐶) → 𝑤𝑆𝐶))
159, 10, 14mp2and 409 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝑤𝑆𝐶)
164simp1d 916 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 ixxssixx.1 . . . . . 6 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
1817elixx1 8766 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐶)))
1916, 12, 18syl2anc 391 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐶)))
205, 8, 15, 19mpbir3and 1087 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶))
2120ex 108 . 2 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶)))
2221ssrdv 2951 1 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) → (𝐴𝑃𝐵) ⊆ (𝐴𝑂𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  {crab 2310  wss 2917   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cmpt2 5514  *cxr 7059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064
This theorem is referenced by:  iooss2  8786
  Copyright terms: Public domain W3C validator