ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ftpg Structured version   GIF version

Theorem ftpg 5290
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ftpg (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶})

Proof of Theorem ftpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 900 . . . 4 ((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑈 𝑌 𝑉))
2 3simpa 900 . . . 4 ((A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) → (A 𝐹 B 𝐺))
3 simp1 903 . . . 4 ((𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
4 fprg 5289 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉) (A 𝐹 B 𝐺) 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{A, B})
51, 2, 3, 4syl3an 1176 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{A, B})
6 eqidd 2038 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩})
7 simp3 905 . . . . . . 7 ((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) → 𝑍 𝑊)
8 simp3 905 . . . . . . 7 ((A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) → 𝐶 𝐻)
97, 8anim12i 321 . . . . . 6 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻)) → (𝑍 𝑊 𝐶 𝐻))
1093adant3 923 . . . . 5 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → (𝑍 𝑊 𝐶 𝐻))
11 fsng 5279 . . . . 5 ((𝑍 𝑊 𝐶 𝐻) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
1210, 11syl 14 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
136, 12mpbird 156 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶})
14 df-ne 2203 . . . . . . 7 (𝑋𝑍 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑍)
15 df-ne 2203 . . . . . . 7 (𝑌𝑍 ↔ ¬ 𝑌 = 𝑍)
16 elpri 3387 . . . . . . . . . 10 (𝑍 {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋 𝑍 = 𝑌))
17 eqcom 2039 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑋𝑋 = 𝑍)
18 eqcom 2039 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑌𝑌 = 𝑍)
1917, 18orbi12i 680 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 𝑋 𝑍 = 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑍 𝑌 = 𝑍))
2016, 19sylib 127 . . . . . . . . 9 (𝑍 {𝑋, 𝑌} → (𝑋 = 𝑍 𝑌 = 𝑍))
21 oranim 806 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 𝑍 𝑌 = 𝑍) → ¬ (¬ 𝑋 = 𝑍 ¬ 𝑌 = 𝑍))
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 (𝑍 {𝑋, 𝑌} → ¬ (¬ 𝑋 = 𝑍 ¬ 𝑌 = 𝑍))
2322con2i 557 . . . . . . 7 ((¬ 𝑋 = 𝑍 ¬ 𝑌 = 𝑍) → ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
2414, 15, 23syl2anb 275 . . . . . 6 ((𝑋𝑍 𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
25243adant1 921 . . . . 5 ((𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
26253ad2ant3 926 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
27 disjsn 3423 . . . 4 (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
2826, 27sylibr 137 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
29 fun 5006 . . 3 ((({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{A, B} {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶}) ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅) → ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({A, B} ∪ {𝐶}))
305, 13, 28, 29syl21anc 1133 . 2 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({A, B} ∪ {𝐶}))
31 df-tp 3375 . . . 4 {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
3231feq1i 4982 . . 3 ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶})
33 df-tp 3375 . . . 4 {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
34 df-tp 3375 . . . 4 {A, B, 𝐶} = ({A, B} ∪ {𝐶})
3533, 34feq23i 4984 . . 3 (({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({A, B} ∪ {𝐶}))
3632, 35bitri 173 . 2 ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({A, B} ∪ {𝐶}))
3730, 36sylibr 137 1 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  cun 2909  cin 2910  c0 3218  {csn 3367  {cpr 3368  {ctp 3369  cop 3370  wf 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by:  ftp  5291
  Copyright terms: Public domain W3C validator