Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ftpg Structured version   GIF version

Theorem ftpg 5268
 Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ftpg (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶})

Proof of Theorem ftpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 887 . . . 4 ((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑈 𝑌 𝑉))
2 3simpa 887 . . . 4 ((A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) → (A 𝐹 B 𝐺))
3 simp1 890 . . . 4 ((𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
4 fprg 5267 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉) (A 𝐹 B 𝐺) 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{A, B})
51, 2, 3, 4syl3an 1161 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{A, B})
6 eqidd 2019 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩})
7 simp3 892 . . . . . . 7 ((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) → 𝑍 𝑊)
8 simp3 892 . . . . . . 7 ((A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) → 𝐶 𝐻)
97, 8anim12i 321 . . . . . 6 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻)) → (𝑍 𝑊 𝐶 𝐻))
1093adant3 910 . . . . 5 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → (𝑍 𝑊 𝐶 𝐻))
11 fsng 5257 . . . . 5 ((𝑍 𝑊 𝐶 𝐻) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
1210, 11syl 14 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
136, 12mpbird 156 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶})
14 df-ne 2184 . . . . . . 7 (𝑋𝑍 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑍)
15 df-ne 2184 . . . . . . 7 (𝑌𝑍 ↔ ¬ 𝑌 = 𝑍)
16 elpri 3366 . . . . . . . . . 10 (𝑍 {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋 𝑍 = 𝑌))
17 eqcom 2020 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑋𝑋 = 𝑍)
18 eqcom 2020 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑌𝑌 = 𝑍)
1917, 18orbi12i 668 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 𝑋 𝑍 = 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑍 𝑌 = 𝑍))
2016, 19sylib 127 . . . . . . . . 9 (𝑍 {𝑋, 𝑌} → (𝑋 = 𝑍 𝑌 = 𝑍))
21 oranim 795 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 𝑍 𝑌 = 𝑍) → ¬ (¬ 𝑋 = 𝑍 ¬ 𝑌 = 𝑍))
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 (𝑍 {𝑋, 𝑌} → ¬ (¬ 𝑋 = 𝑍 ¬ 𝑌 = 𝑍))
2322con2i 545 . . . . . . 7 ((¬ 𝑋 = 𝑍 ¬ 𝑌 = 𝑍) → ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
2414, 15, 23syl2anb 275 . . . . . 6 ((𝑋𝑍 𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
25243adant1 908 . . . . 5 ((𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
26253ad2ant3 913 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
27 disjsn 3402 . . . 4 (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
2826, 27sylibr 137 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
29 fun 4984 . . 3 ((({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{A, B} {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶}) ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅) → ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({A, B} ∪ {𝐶}))
305, 13, 28, 29syl21anc 1118 . 2 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({A, B} ∪ {𝐶}))
31 df-tp 3354 . . . 4 {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
3231feq1i 4961 . . 3 ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶})
33 df-tp 3354 . . . 4 {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
34 df-tp 3354 . . . 4 {A, B, 𝐶} = ({A, B} ∪ {𝐶})
3533, 34feq23i 4963 . . 3 (({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({A, B} ∪ {𝐶}))
3632, 35bitri 173 . 2 ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({A, B} ∪ {𝐶}))
3730, 36sylibr 137 1 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{A, B, 𝐶})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 616   ∧ w3a 871   = wceq 1226   ∈ wcel 1370   ≠ wne 2182   ∪ cun 2888   ∩ cin 2889  ∅c0 3197  {csn 3346  {cpr 3347  {ctp 3348  ⟨cop 3349  ⟶wf 4821 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-tp 3354  df-op 3355  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832 This theorem is referenced by:  ftp  5269
 Copyright terms: Public domain W3C validator