Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ftpg GIF version

Theorem ftpg 5347
 Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ftpg (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})

Proof of Theorem ftpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 901 . . . 4 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → (𝑋𝑈𝑌𝑉))
2 3simpa 901 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) → (𝐴𝐹𝐵𝐺))
3 simp1 904 . . . 4 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
4 fprg 5346 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺) ∧ 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
51, 2, 3, 4syl3an 1177 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
6 eqidd 2041 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩})
7 simp3 906 . . . . . . 7 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → 𝑍𝑊)
8 simp3 906 . . . . . . 7 ((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) → 𝐶𝐻)
97, 8anim12i 321 . . . . . 6 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻)) → (𝑍𝑊𝐶𝐻))
1093adant3 924 . . . . 5 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑍𝑊𝐶𝐻))
11 fsng 5336 . . . . 5 ((𝑍𝑊𝐶𝐻) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
1210, 11syl 14 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
136, 12mpbird 156 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶})
14 df-ne 2206 . . . . . . 7 (𝑋𝑍 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑍)
15 df-ne 2206 . . . . . . 7 (𝑌𝑍 ↔ ¬ 𝑌 = 𝑍)
16 elpri 3398 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌))
17 eqcom 2042 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑋𝑋 = 𝑍)
18 eqcom 2042 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑌𝑌 = 𝑍)
1917, 18orbi12i 681 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑍𝑌 = 𝑍))
2016, 19sylib 127 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑋 = 𝑍𝑌 = 𝑍))
21 oranim 807 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 𝑍𝑌 = 𝑍) → ¬ (¬ 𝑋 = 𝑍 ∧ ¬ 𝑌 = 𝑍))
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → ¬ (¬ 𝑋 = 𝑍 ∧ ¬ 𝑌 = 𝑍))
2322con2i 557 . . . . . . 7 ((¬ 𝑋 = 𝑍 ∧ ¬ 𝑌 = 𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
2414, 15, 23syl2anb 275 . . . . . 6 ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
25243adant1 922 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
26253ad2ant3 927 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
27 disjsn 3432 . . . 4 (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
2826, 27sylibr 137 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
29 fun 5063 . . 3 ((({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵} ∧ {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶}) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅) → ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
305, 13, 28, 29syl21anc 1134 . 2 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
31 df-tp 3383 . . . 4 {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
3231feq1i 5039 . . 3 ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
33 df-tp 3383 . . . 4 {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
34 df-tp 3383 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
3533, 34feq23i 5041 . . 3 (({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
3632, 35bitri 173 . 2 ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
3730, 36sylibr 137 1 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204   ∪ cun 2915   ∩ cin 2916  ∅c0 3224  {csn 3375  {cpr 3376  {ctp 3377  ⟨cop 3378  ⟶wf 4898 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909 This theorem is referenced by:  ftp  5348
 Copyright terms: Public domain W3C validator