Theorem fprg 5346

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Proof of Theorem fprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnprg 4954	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵})
2		rnsnopg 4799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐶})
3	2	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐶})
4	3	3ad2ant1 925	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐶})
5		rnsnopg 4799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐹 → ran {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐷})
6	5	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) → ran {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐷})
7	6	3ad2ant1 925	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ran {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐷})
8	4, 7	uneq12d 3098	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐶} ∪ {𝐷}))
9		df-pr 3382	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
10	9	rneqi 4562	. . . . 5 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ran ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
11		rnun 4732	. . . . 5 ⊢ ran ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩})
12	10, 11	eqtri 2060	. . . 4 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩})
13		df-pr 3382	. . . 4 ⊢ {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
14	8, 12, 13	3eqtr4g 2097	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐶, 𝐷})
15		eqimss 2997	. . 3 ⊢ (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐶, 𝐷} → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷})
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷})
17		df-f 4906	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ∧ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷}))
18	1, 16, 17	sylanbrc 394	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) ∧ (𝐶 ∈ 𝐺 ∧ 𝐷 ∈ 𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204   ∪ cun 2915   ⊆ wss 2917  {csn 3375  {cpr 3376  ⟨cop 3378  ran crn 4346   Fn wfn 4897  ⟶wf 4898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906

This theorem is referenced by:  ftpg  5347