ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ftp GIF version

Theorem ftp 5348
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftp.a 𝐴 ∈ V
ftp.b 𝐵 ∈ V
ftp.c 𝐶 ∈ V
ftp.d 𝑋 ∈ V
ftp.e 𝑌 ∈ V
ftp.f 𝑍 ∈ V
ftp.g 𝐴𝐵
ftp.h 𝐴𝐶
ftp.i 𝐵𝐶
Assertion
Ref Expression
ftp {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}

Proof of Theorem ftp
StepHypRef Expression
1 ftp.a . . 3 𝐴 ∈ V
2 ftp.b . . 3 𝐵 ∈ V
3 ftp.c . . 3 𝐶 ∈ V
41, 2, 33pm3.2i 1082 . 2 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)
5 ftp.d . . 3 𝑋 ∈ V
6 ftp.e . . 3 𝑌 ∈ V
7 ftp.f . . 3 𝑍 ∈ V
85, 6, 73pm3.2i 1082 . 2 (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)
9 ftp.g . . 3 𝐴𝐵
10 ftp.h . . 3 𝐴𝐶
11 ftp.i . . 3 𝐵𝐶
129, 10, 113pm3.2i 1082 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)
13 ftpg 5347 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
144, 8, 12, 13mp3an 1232 1 {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  w3a 885  wcel 1393  wne 2204  Vcvv 2557  {ctp 3377  cop 3378  wf 4898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator