Theorem ftpg 5347

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ftpg	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )

Proof of Theorem ftpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 901	. . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
2		3simpa 901	. . . 4 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
3		simp1 904	. . . 4 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> X =/= Y )
4		fprg 5346	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( A e. F /\ B e. G ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1177	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } )
6		eqidd 2041	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } )
7		simp3 906	. . . . . . 7 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> Z e. W )
8		simp3 906	. . . . . . 7 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> C e. H )
9	7, 8	anim12i 321	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) ) -> ( Z e. W /\ C e. H ) )
10	9	3adant3 924	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( Z e. W /\ C e. H ) )
11		fsng 5336	. . . . 5 |- ( ( Z e. W /\ C e. H ) -> ( { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } <-> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } <-> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } ) )
13	6, 12	mpbird 156	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } )
14		df-ne 2206	. . . . . . 7 |- ( X =/= Z <-> -. X = Z )
15		df-ne 2206	. . . . . . 7 |- ( Y =/= Z <-> -. Y = Z )
16		elpri 3398	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. { X , Y } -> ( Z = X \/ Z = Y ) )
17		eqcom 2042	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = X <-> X = Z )
18		eqcom 2042	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = Y <-> Y = Z )
19	17, 18	orbi12i 681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) <-> ( X = Z \/ Y = Z ) )
20	16, 19	sylib 127	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. { X , Y } -> ( X = Z \/ Y = Z ) )
21		oranim 807	. . . . . . . . 9 |- ( ( X = Z \/ Y = Z ) -> -. ( -. X = Z /\ -. Y = Z ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( Z e. { X , Y } -> -. ( -. X = Z /\ -. Y = Z ) )
23	22	con2i 557	. . . . . . 7 |- ( ( -. X = Z /\ -. Y = Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
24	14, 15, 23	syl2anb 275	. . . . . 6 |- ( ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
25	24	3adant1 922	. . . . 5 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
26	25	3ad2ant3 927	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> -. Z e. { X , Y } )
27		disjsn 3432	. . . 4 |- ( ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. { X , Y } )
28	26, 27	sylibr 137	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
29		fun 5063	. . 3 |- ( ( ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } /\ { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } ) /\ ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) ) -> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
30	5, 13, 28, 29	syl21anc 1134	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
31		df-tp 3383	. . . 4 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
32	31	feq1i 5039	. . 3 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )
33		df-tp 3383	. . . 4 |- { X , Y , Z } = ( { X , Y } u. { Z } )
34		df-tp 3383	. . . 4 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
35	33, 34	feq23i 5041	. . 3 |- ( ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
36	32, 35	bitri 173	. 2 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
37	30, 36	sylibr 137	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   u. cun 2915   i^i cin 2916   (/)c0 3224   {csn 3375   {cpr 3376   {ctp 3377   <.cop 3378   -->wf 4898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909

This theorem is referenced by:  ftp  5348