ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprg Structured version   Unicode version

Theorem fprg 5289
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fprg  E  F  C  G  D  H  =/=  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. } : { ,  } --> { C ,  D }

Proof of Theorem fprg
StepHypRef Expression
1 fnprg 4897 . 2  E  F  C  G  D  H  =/=  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  Fn  { ,  }
2 rnsnopg 4742 . . . . . . 7  E  ran  {
<. ,  C >. }  { C }
32adantr 261 . . . . . 6  E  F  ran  { <. ,  C >. }  { C }
433ad2ant1 924 . . . . 5  E  F  C  G  D  H  =/=  ran  { <. ,  C >. }  { C }
5 rnsnopg 4742 . . . . . . 7  F  ran  {
<. ,  D >. }  { D }
65adantl 262 . . . . . 6  E  F  ran  { <. ,  D >. }  { D }
763ad2ant1 924 . . . . 5  E  F  C  G  D  H  =/=  ran  { <. ,  D >. }  { D }
84, 7uneq12d 3092 . . . 4  E  F  C  G  D  H  =/=  ran  { <. ,  C >. }  u.  ran  { <. ,  D >. }  { C }  u.  { D }
9 df-pr 3374 . . . . . 6  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
109rneqi 4505 . . . . 5  ran  { <. ,  C >. , 
<. ,  D >. }  ran  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
11 rnun 4675 . . . . 5  ran  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }  ran  { <. ,  C >. }  u.  ran  { <. ,  D >. }
1210, 11eqtri 2057 . . . 4  ran  { <. ,  C >. , 
<. ,  D >. }  ran  { <. ,  C >. }  u.  ran  { <. ,  D >. }
13 df-pr 3374 . . . 4  { C ,  D }  { C }  u.  { D }
148, 12, 133eqtr4g 2094 . . 3  E  F  C  G  D  H  =/=  ran  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { C ,  D }
15 eqimss 2991 . . 3  ran 
{ <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { C ,  D }  ran  {
<. ,  C >. , 
<. ,  D >. } 
C_  { C ,  D }
1614, 15syl 14 . 2  E  F  C  G  D  H  =/=  ran  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  C_  { C ,  D }
17 df-f 4849 . 2  { <. ,  C >. , 
<. ,  D >. } : { ,  } --> { C ,  D }  { <. ,  C >. , 
<. ,  D >. }  Fn  { ,  }  ran  { <. ,  C >. , 
<. ,  D >. } 
C_  { C ,  D }
181, 16, 17sylanbrc 394 1  E  F  C  G  D  H  =/=  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. } : { ,  } --> { C ,  D }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201    u. cun 2909    C_ wss 2911   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370   ran crn 4289    Fn wfn 4840   -->wf 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849
This theorem is referenced by:  ftpg  5290
  Copyright terms: Public domain W3C validator