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Theorem copsexg 3972
Description: Substitution of class A for ordered pair x, y. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
copsexg (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ)))
Distinct variable groups:   x,A   y,A
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem copsexg
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2554 . . . 4 x V
2 vex 2554 . . . 4 y V
31, 2eqvinop 3971 . . 3 (A = ⟨x, y⟩ ↔ zw(A = ⟨z, wz, w⟩ = ⟨x, y⟩))
4 19.8a 1479 . . . . . . . . 9 (y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) → xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ))
5419.23bi 1480 . . . . . . . 8 ((⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) → xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ))
65ex 108 . . . . . . 7 (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (φxy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))
7 vex 2554 . . . . . . . . 9 z V
8 vex 2554 . . . . . . . . 9 w V
97, 8opth 3965 . . . . . . . 8 (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ↔ (z = x w = y))
109anbi1i 431 . . . . . . . . . 10 ((⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) ↔ ((z = x w = y) φ))
11102exbii 1494 . . . . . . . . 9 (xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) ↔ xy((z = x w = y) φ))
12 nfe1 1382 . . . . . . . . . . 11 xx(z = x y(w = y φ))
13 dveeq2or 1694 . . . . . . . . . . . 12 (y y = x y z = x)
14 nfae 1604 . . . . . . . . . . . . . . 15 yy y = x
15 anass 381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((z = x w = y) φ) ↔ (z = x (w = y φ)))
16 19.8a 1479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((w = y φ) → y(w = y φ))
1716a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y y = x → ((w = y φ) → y(w = y φ)))
1817anim2d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y y = x → ((z = x (w = y φ)) → (z = x y(w = y φ))))
1915, 18syl5bi 141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y y = x → (((z = x w = y) φ) → (z = x y(w = y φ))))
2014, 19eximd 1500 . . . . . . . . . . . . . 14 (y y = x → (y((z = x w = y) φ) → y(z = x y(w = y φ))))
21 biidd 161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y y = x → ((z = x y(w = y φ)) ↔ (z = x y(w = y φ))))
2221drex1 1676 . . . . . . . . . . . . . 14 (y y = x → (y(z = x y(w = y φ)) ↔ x(z = x y(w = y φ))))
2320, 22sylibd 138 . . . . . . . . . . . . 13 (y y = x → (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ))))
2415exbii 1493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y((z = x w = y) φ) ↔ y(z = x (w = y φ)))
25 19.40 1519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y(z = x (w = y φ)) → (y z = x y(w = y φ)))
26 19.9t 1530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ⅎy z = x → (y z = xz = x))
2726biimpd 132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ⅎy z = x → (y z = xz = x))
2827anim1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ⅎy z = x → ((y z = x y(w = y φ)) → (z = x y(w = y φ))))
2925, 28syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ⅎy z = x → (y(z = x (w = y φ)) → (z = x y(w = y φ))))
3024, 29syl5bi 141 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ⅎy z = x → (y((z = x w = y) φ) → (z = x y(w = y φ))))
31 19.8a 1479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z = x y(w = y φ)) → x(z = x y(w = y φ)))
3230, 31syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13 (Ⅎy z = x → (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ))))
3323, 32jaoi 635 . . . . . . . . . . . 12 ((y y = x y z = x) → (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ))))
3413, 33ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ)))
3512, 34exlimi 1482 . . . . . . . . . 10 (xy((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ)))
36 euequ1 1992 . . . . . . . . . . . . . 14 ∃!x x = z
37 equcom 1590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x = zz = x)
3837eubii 1906 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃!x x = z∃!x z = x)
3936, 38mpbi 133 . . . . . . . . . . . . 13 ∃!x z = x
40 eupick 1976 . . . . . . . . . . . . 13 ((∃!x z = x x(z = x y(w = y φ))) → (z = xy(w = y φ)))
4139, 40mpan 400 . . . . . . . . . . . 12 (x(z = x y(w = y φ)) → (z = xy(w = y φ)))
4241com12 27 . . . . . . . . . . 11 (z = x → (x(z = x y(w = y φ)) → y(w = y φ)))
43 euequ1 1992 . . . . . . . . . . . . . 14 ∃!y y = w
44 equcom 1590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y = ww = y)
4544eubii 1906 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃!y y = w∃!y w = y)
4643, 45mpbi 133 . . . . . . . . . . . . 13 ∃!y w = y
47 eupick 1976 . . . . . . . . . . . . 13 ((∃!y w = y y(w = y φ)) → (w = yφ))
4846, 47mpan 400 . . . . . . . . . . . 12 (y(w = y φ) → (w = yφ))
4948com12 27 . . . . . . . . . . 11 (w = y → (y(w = y φ) → φ))
5042, 49sylan9 389 . . . . . . . . . 10 ((z = x w = y) → (x(z = x y(w = y φ)) → φ))
5135, 50syl5 28 . . . . . . . . 9 ((z = x w = y) → (xy((z = x w = y) φ) → φ))
5211, 51syl5bi 141 . . . . . . . 8 ((z = x w = y) → (xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) → φ))
539, 52sylbi 114 . . . . . . 7 (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) → φ))
546, 53impbid 120 . . . . . 6 (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (φxy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))
55 eqeq1 2043 . . . . . . 7 (A = ⟨z, w⟩ → (A = ⟨x, y⟩ ↔ ⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩))
5655anbi1d 438 . . . . . . . . 9 (A = ⟨z, w⟩ → ((A = ⟨x, y φ) ↔ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))
57562exbidv 1745 . . . . . . . 8 (A = ⟨z, w⟩ → (xy(A = ⟨x, y φ) ↔ xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))
5857bibi2d 221 . . . . . . 7 (A = ⟨z, w⟩ → ((φxy(A = ⟨x, y φ)) ↔ (φxy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ))))
5955, 58imbi12d 223 . . . . . 6 (A = ⟨z, w⟩ → ((A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))) ↔ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (φxy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))))
6054, 59mpbiri 157 . . . . 5 (A = ⟨z, w⟩ → (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))))
6160adantr 261 . . . 4 ((A = ⟨z, wz, w⟩ = ⟨x, y⟩) → (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))))
6261exlimivv 1773 . . 3 (zw(A = ⟨z, wz, w⟩ = ⟨x, y⟩) → (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))))
633, 62sylbi 114 . 2 (A = ⟨x, y⟩ → (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))))
6463pm2.43i 43 1 (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628  wal 1240   = wceq 1242  wnf 1346  wex 1378  ∃!weu 1897  cop 3370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376
This theorem is referenced by:  copsex2t  3973  copsex2g  3974  opabid  3985  mosubopt  4348
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