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Theorem copsexg 3955
Description: Substitution of class A for ordered pair x, y. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
copsexg (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ)))
Distinct variable groups:   x,A   y,A
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem copsexg
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2538 . . . 4 x V
2 vex 2538 . . . 4 y V
31, 2eqvinop 3954 . . 3 (A = ⟨x, y⟩ ↔ zw(A = ⟨z, wz, w⟩ = ⟨x, y⟩))
4 19.8a 1464 . . . . . . . . 9 (y(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) → xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ))
5419.23bi 1465 . . . . . . . 8 ((⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) → xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ))
65ex 108 . . . . . . 7 (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (φxy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))
7 vex 2538 . . . . . . . . 9 z V
8 vex 2538 . . . . . . . . 9 w V
97, 8opth 3948 . . . . . . . 8 (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ ↔ (z = x w = y))
109anbi1i 434 . . . . . . . . . 10 ((⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) ↔ ((z = x w = y) φ))
11102exbii 1479 . . . . . . . . 9 (xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) ↔ xy((z = x w = y) φ))
12 nfe1 1366 . . . . . . . . . . 11 xx(z = x y(w = y φ))
13 dveeq2or 1679 . . . . . . . . . . . 12 (y y = x y z = x)
14 nfae 1589 . . . . . . . . . . . . . . 15 yy y = x
15 anass 383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((z = x w = y) φ) ↔ (z = x (w = y φ)))
16 19.8a 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((w = y φ) → y(w = y φ))
1716a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y y = x → ((w = y φ) → y(w = y φ)))
1817anim2d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y y = x → ((z = x (w = y φ)) → (z = x y(w = y φ))))
1915, 18syl5bi 141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y y = x → (((z = x w = y) φ) → (z = x y(w = y φ))))
2014, 19eximd 1485 . . . . . . . . . . . . . 14 (y y = x → (y((z = x w = y) φ) → y(z = x y(w = y φ))))
21 biidd 161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y y = x → ((z = x y(w = y φ)) ↔ (z = x y(w = y φ))))
2221drex1 1661 . . . . . . . . . . . . . 14 (y y = x → (y(z = x y(w = y φ)) ↔ x(z = x y(w = y φ))))
2320, 22sylibd 138 . . . . . . . . . . . . 13 (y y = x → (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ))))
2415exbii 1478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y((z = x w = y) φ) ↔ y(z = x (w = y φ)))
25 19.40 1504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y(z = x (w = y φ)) → (y z = x y(w = y φ)))
26 19.9t 1515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ⅎy z = x → (y z = xz = x))
2726biimpd 132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ⅎy z = x → (y z = xz = x))
2827anim1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ⅎy z = x → ((y z = x y(w = y φ)) → (z = x y(w = y φ))))
2925, 28syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ⅎy z = x → (y(z = x (w = y φ)) → (z = x y(w = y φ))))
3024, 29syl5bi 141 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ⅎy z = x → (y((z = x w = y) φ) → (z = x y(w = y φ))))
31 19.8a 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z = x y(w = y φ)) → x(z = x y(w = y φ)))
3230, 31syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13 (Ⅎy z = x → (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ))))
3323, 32jaoi 623 . . . . . . . . . . . 12 ((y y = x y z = x) → (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ))))
3413, 33ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 (y((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ)))
3512, 34exlimi 1467 . . . . . . . . . 10 (xy((z = x w = y) φ) → x(z = x y(w = y φ)))
36 euequ1 1977 . . . . . . . . . . . . . 14 ∃!x x = z
37 equcom 1575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x = zz = x)
3837eubii 1891 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃!x x = z∃!x z = x)
3936, 38mpbi 133 . . . . . . . . . . . . 13 ∃!x z = x
40 eupick 1961 . . . . . . . . . . . . 13 ((∃!x z = x x(z = x y(w = y φ))) → (z = xy(w = y φ)))
4139, 40mpan 402 . . . . . . . . . . . 12 (x(z = x y(w = y φ)) → (z = xy(w = y φ)))
4241com12 27 . . . . . . . . . . 11 (z = x → (x(z = x y(w = y φ)) → y(w = y φ)))
43 euequ1 1977 . . . . . . . . . . . . . 14 ∃!y y = w
44 equcom 1575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y = ww = y)
4544eubii 1891 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃!y y = w∃!y w = y)
4643, 45mpbi 133 . . . . . . . . . . . . 13 ∃!y w = y
47 eupick 1961 . . . . . . . . . . . . 13 ((∃!y w = y y(w = y φ)) → (w = yφ))
4846, 47mpan 402 . . . . . . . . . . . 12 (y(w = y φ) → (w = yφ))
4948com12 27 . . . . . . . . . . 11 (w = y → (y(w = y φ) → φ))
5042, 49sylan9 391 . . . . . . . . . 10 ((z = x w = y) → (x(z = x y(w = y φ)) → φ))
5135, 50syl5 28 . . . . . . . . 9 ((z = x w = y) → (xy((z = x w = y) φ) → φ))
5211, 51syl5bi 141 . . . . . . . 8 ((z = x w = y) → (xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) → φ))
539, 52sylbi 114 . . . . . . 7 (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ) → φ))
546, 53impbid 120 . . . . . 6 (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (φxy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))
55 eqeq1 2028 . . . . . . 7 (A = ⟨z, w⟩ → (A = ⟨x, y⟩ ↔ ⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩))
5655anbi1d 441 . . . . . . . . 9 (A = ⟨z, w⟩ → ((A = ⟨x, y φ) ↔ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))
57562exbidv 1730 . . . . . . . 8 (A = ⟨z, w⟩ → (xy(A = ⟨x, y φ) ↔ xy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))
5857bibi2d 221 . . . . . . 7 (A = ⟨z, w⟩ → ((φxy(A = ⟨x, y φ)) ↔ (φxy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ))))
5955, 58imbi12d 223 . . . . . 6 (A = ⟨z, w⟩ → ((A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))) ↔ (⟨z, w⟩ = ⟨x, y⟩ → (φxy(⟨z, w⟩ = ⟨x, y φ)))))
6054, 59mpbiri 157 . . . . 5 (A = ⟨z, w⟩ → (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))))
6160adantr 261 . . . 4 ((A = ⟨z, wz, w⟩ = ⟨x, y⟩) → (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))))
6261exlimivv 1758 . . 3 (zw(A = ⟨z, wz, w⟩ = ⟨x, y⟩) → (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))))
633, 62sylbi 114 . 2 (A = ⟨x, y⟩ → (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ))))
6463pm2.43i 43 1 (A = ⟨x, y⟩ → (φxy(A = ⟨x, y φ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616  wal 1226   = wceq 1228  wnf 1329  wex 1362  ∃!weu 1882  cop 3353
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359
This theorem is referenced by:  copsex2t  3956  copsex2g  3957  opabid  3968  mosubopt  4332
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