ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvresima Structured version   GIF version

Theorem cnvresima 4753
Description: An image under the converse of a restriction. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
cnvresima ((𝐹A) “ B) = ((𝐹B) ∩ A)

Proof of Theorem cnvresima
Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2554 . . . 4 𝑡 V
21elima3 4618 . . 3 (𝑡 ((𝐹A) “ B) ↔ 𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)))
31elima3 4618 . . . . 5 (𝑡 (𝐹B) ↔ 𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹))
43anbi1i 431 . . . 4 ((𝑡 (𝐹B) 𝑡 A) ↔ (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
5 elin 3120 . . . 4 (𝑡 ((𝐹B) ∩ A) ↔ (𝑡 (𝐹B) 𝑡 A))
6 vex 2554 . . . . . . . . . 10 𝑠 V
76, 1opelcnv 4460 . . . . . . . . 9 (⟨𝑠, 𝑡 (𝐹A) ↔ ⟨𝑡, 𝑠 (𝐹A))
86opelres 4560 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑡, 𝑠 (𝐹A) ↔ (⟨𝑡, 𝑠 𝐹 𝑡 A))
96, 1opelcnv 4460 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 ↔ ⟨𝑡, 𝑠 𝐹)
109anbi1i 431 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A) ↔ (⟨𝑡, 𝑠 𝐹 𝑡 A))
118, 10bitr4i 176 . . . . . . . . 9 (⟨𝑡, 𝑠 (𝐹A) ↔ (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A))
127, 11bitri 173 . . . . . . . 8 (⟨𝑠, 𝑡 (𝐹A) ↔ (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A))
1312anbi2i 430 . . . . . . 7 ((𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ (𝑠 B (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A)))
14 anass 381 . . . . . . 7 (((𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A) ↔ (𝑠 B (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A)))
1513, 14bitr4i 176 . . . . . 6 ((𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ ((𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
1615exbii 1493 . . . . 5 (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ 𝑠((𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
17 19.41v 1779 . . . . 5 (𝑠((𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A) ↔ (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
1816, 17bitri 173 . . . 4 (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
194, 5, 183bitr4ri 202 . . 3 (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ 𝑡 ((𝐹B) ∩ A))
202, 19bitri 173 . 2 (𝑡 ((𝐹A) “ B) ↔ 𝑡 ((𝐹B) ∩ A))
2120eqriv 2034 1 ((𝐹A) “ B) = ((𝐹B) ∩ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cin 2910  cop 3370  ccnv 4287  cres 4290  cima 4291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator