ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvresima Structured version   GIF version

Theorem cnvresima 4737
Description: An image under the converse of a restriction. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
cnvresima ((𝐹A) “ B) = ((𝐹B) ∩ A)

Proof of Theorem cnvresima
Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2538 . . . 4 𝑡 V
21elima3 4602 . . 3 (𝑡 ((𝐹A) “ B) ↔ 𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)))
31elima3 4602 . . . . 5 (𝑡 (𝐹B) ↔ 𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹))
43anbi1i 434 . . . 4 ((𝑡 (𝐹B) 𝑡 A) ↔ (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
5 elin 3103 . . . 4 (𝑡 ((𝐹B) ∩ A) ↔ (𝑡 (𝐹B) 𝑡 A))
6 vex 2538 . . . . . . . . . 10 𝑠 V
76, 1opelcnv 4444 . . . . . . . . 9 (⟨𝑠, 𝑡 (𝐹A) ↔ ⟨𝑡, 𝑠 (𝐹A))
86opelres 4544 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑡, 𝑠 (𝐹A) ↔ (⟨𝑡, 𝑠 𝐹 𝑡 A))
96, 1opelcnv 4444 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 ↔ ⟨𝑡, 𝑠 𝐹)
109anbi1i 434 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A) ↔ (⟨𝑡, 𝑠 𝐹 𝑡 A))
118, 10bitr4i 176 . . . . . . . . 9 (⟨𝑡, 𝑠 (𝐹A) ↔ (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A))
127, 11bitri 173 . . . . . . . 8 (⟨𝑠, 𝑡 (𝐹A) ↔ (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A))
1312anbi2i 433 . . . . . . 7 ((𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ (𝑠 B (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A)))
14 anass 383 . . . . . . 7 (((𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A) ↔ (𝑠 B (⟨𝑠, 𝑡 𝐹 𝑡 A)))
1513, 14bitr4i 176 . . . . . 6 ((𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ ((𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
1615exbii 1478 . . . . 5 (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ 𝑠((𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
17 19.41v 1764 . . . . 5 (𝑠((𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A) ↔ (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
1816, 17bitri 173 . . . 4 (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 𝐹) 𝑡 A))
194, 5, 183bitr4ri 202 . . 3 (𝑠(𝑠 B 𝑠, 𝑡 (𝐹A)) ↔ 𝑡 ((𝐹B) ∩ A))
202, 19bitri 173 . 2 (𝑡 ((𝐹A) “ B) ↔ 𝑡 ((𝐹B) ∩ A))
2120eqriv 2019 1 ((𝐹A) “ B) = ((𝐹B) ∩ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  cin 2893  cop 3353  ccnv 4271  cres 4274  cima 4275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-br 3739  df-opab 3793  df-xp 4278  df-cnv 4280  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator