Theorem prcunqu 6583

Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcunqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) )

Proof of Theorem prcunqu

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6463	. . . . . 6 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4392	. . . . 5 |- ( C <Q B -> ( C e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simprd 107	. . . 4 |- ( C <Q B -> B e. Q. )
4	3	adantl 262	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. Q. )
5		breq2 3768	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( C <Q b <-> C <Q B ) )
6		eleq1 2100	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( b e. U <-> B e. U ) )
7	5, 6	imbi12d 223	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( ( C <Q b -> b e. U ) <-> ( C <Q B -> B e. U ) ) )
8	7	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q b -> b e. U ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) ) ) )
9	1	brel 4392	. . . . . . . 8 |- ( C <Q b -> ( C e. Q. /\ b e. Q. ) )
10		an42 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Q. /\ b e. Q. ) /\ ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) ) <-> ( ( C e. Q. /\ C e. U ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) ) )
11		breq1 3767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c <Q b <-> C <Q b ) )
12		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c e. U <-> C e. U ) )
13	11, 12	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = C -> ( ( c <Q b /\ c e. U ) <-> ( C <Q b /\ C e. U ) ) )
14	13	rspcev 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. Q. /\ ( C <Q b /\ C e. U ) ) -> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) )
15		elinp 6572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) )
16		simpr1r 962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) -> A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
17	15, 16	sylbi 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
18	17	r19.21bi 2407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
19	14, 18	syl5ibrcom 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Q. /\ ( C <Q b /\ C e. U ) ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
20	19	3impb 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Q. /\ C <Q b /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
21	20	3com12 1108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C <Q b /\ C e. Q. /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
22	21	3expib 1107	. . . . . . . . . 10 |- ( C <Q b -> ( ( C e. Q. /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) ) )
23	22	impd 242	. . . . . . . . 9 |- ( C <Q b -> ( ( ( C e. Q. /\ C e. U ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) ) -> b e. U ) )
24	10, 23	syl5bi 141	. . . . . . . 8 |- ( C <Q b -> ( ( ( C e. Q. /\ b e. Q. ) /\ ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) ) -> b e. U ) )
25	9, 24	mpand 405	. . . . . . 7 |- ( C <Q b -> ( ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) -> b e. U ) )
26	25	com12 27	. . . . . 6 |- ( ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) -> ( C <Q b -> b e. U ) )
27	26	ancoms 255	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q b -> b e. U ) )
28	8, 27	vtoclg 2613	. . . 4 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) ) )
29	28	impd 242	. . 3 |- ( B e. Q. -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. U ) )
30	4, 29	mpcom 32	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. U )
31	30	ex 108	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   C_ wss 2917   <.cop 3378   class class class wbr 3764   Q.cnq 6378   <Q cltq 6383   P.cnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-qs 6112  df-ni 6402  df-nqqs 6446  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  prarloc  6601  prarloc2  6602  addnqprulem  6626  nqpru  6650  prmuloc2  6665  mulnqpru  6667  distrlem4pru  6683  1idpru  6689  ltexprlemm  6698  ltexprlemupu  6702  ltexprlemrl  6708  ltexprlemfu  6709  ltexprlemru  6710  aptiprlemu  6738