ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elinp Structured version   Unicode version

Theorem elinp 6322
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp  <. L ,  U >.  P.  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
Distinct variable groups:    r, q, L    U, q, r

Proof of Theorem elinp
Dummy variables  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 6319 . . . . 5  P.  C_  ~P Q.  X.  ~P Q.
21sseli 2914 . . . 4  <. L ,  U >.  P.  <. L ,  U >.  ~P Q.  X.  ~P Q.
3 opelxp 4297 . . . 4  <. L ,  U >.  ~P Q.  X.  ~P Q.  L  ~P Q.  U  ~P Q.
42, 3sylib 127 . . 3  <. L ,  U >.  P.  L  ~P Q.  U  ~P Q.
5 elex 2539 . . . 4  L  ~P Q.  L  _V
6 elex 2539 . . . 4  U  ~P Q.  U  _V
75, 6anim12i 321 . . 3  L  ~P Q.  U  ~P Q.  L 
_V  U  _V
84, 7syl 14 . 2  <. L ,  U >.  P.  L  _V  U  _V
9 nqex 6216 . . . . 5  Q.  _V
109ssex 3864 . . . 4  L 
C_  Q.  L 
_V
119ssex 3864 . . . 4  U 
C_  Q.  U 
_V
1210, 11anim12i 321 . . 3  L  C_  Q.  U  C_ 
Q.  L  _V  U  _V
1312ad2antrr 460 . 2  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U  L  _V  U  _V
14 df-inp 6314 . . . 4  P.  { <. l ,  >.  |  l  C_  Q.  C_ 
Q.  q  Q.  q  l  r  Q.  r  q 
Q.  q  l  r 
Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  }
1514eleq2i 2082 . . 3  <. L ,  U >.  P.  <. L ,  U >. 
{ <. l ,  >.  |  l  C_  Q.  C_ 
Q.  q  Q.  q  l  r  Q.  r  q 
Q.  q  l  r 
Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  }
16 sseq1 2939 . . . . . . 7  l  L 
l  C_  Q.  L  C_  Q.
1716anbi1d 441 . . . . . 6  l  L  l  C_  Q.  C_  Q.  L 
C_  Q.  C_ 
Q.
18 eleq2 2079 . . . . . . . 8  l  L 
q  l  q  L
1918rexbidv 2301 . . . . . . 7  l  L  q  Q.  q  l  q  Q.  q  L
2019anbi1d 441 . . . . . 6  l  L  q  Q.  q  l  r  Q.  r  q  Q.  q  L  r  Q.  r
2117, 20anbi12d 445 . . . . 5  l  L  l  C_  Q.  C_  Q.  q 
Q.  q  l  r  Q.  r  L  C_  Q.  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r
22 eleq2 2079 . . . . . . . . . . 11  l  L 
r  l  r  L
2322anbi2d 440 . . . . . . . . . 10  l  L  q  <Q  r  r  l  q  <Q  r  r  L
2423rexbidv 2301 . . . . . . . . 9  l  L  r  Q.  q  <Q  r  r  l  r  Q.  q  <Q  r  r  L
2518, 24bibi12d 224 . . . . . . . 8  l  L  q  l  r  Q.  q  <Q  r  r  l  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L
2625ralbidv 2300 . . . . . . 7  l  L  q  Q.  q  l  r  Q.  q  <Q  r  r  l  q  Q.  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L
2726anbi1d 441 . . . . . 6  l  L  q  Q.  q  l  r  Q.  q  <Q  r  r  l  r 
Q.  r  q 
Q.  q  <Q 
r  q  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q
2818anbi1d 441 . . . . . . . 8  l  L  q  l  q  q  L  q
2928notbid 579 . . . . . . 7  l  L  q  l  q  q  L  q
3029ralbidv 2300 . . . . . 6  l  L  q  Q.  q  l  q  q  Q.  q  L  q
3118orbi1d 692 . . . . . . . 8  l  L  q  l  r  q  L  r
3231imbi2d 219 . . . . . . 7  l  L  q  <Q  r  q  l  r  q  <Q  r  q  L  r
33322ralbidv 2322 . . . . . 6  l  L  q  Q.  r  Q. 
q  <Q  r 
q  l  r  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r
3427, 30, 333anbi123d 1190 . . . . 5  l  L  q 
Q.  q  l  r 
Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  q  Q.  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L  r 
Q.  r  q 
Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  L  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r
3521, 34anbi12d 445 . . . 4  l  L  l  C_  Q.  C_  Q.  q  Q.  q  l  r  Q.  r  q  Q. 
q  l  r  Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  L  C_  Q.  C_  Q.  q 
Q.  q  L  r  Q.  r  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  L  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r
36 sseq1 2939 . . . . . . 7  U  C_  Q.  U  C_  Q.
3736anbi2d 440 . . . . . 6  U  L  C_  Q.  C_  Q.  L 
C_  Q.  U  C_  Q.
38 eleq2 2079 . . . . . . . 8  U 
r  r  U
3938rexbidv 2301 . . . . . . 7  U  r  Q.  r  r  Q.  r  U
4039anbi2d 440 . . . . . 6  U  q  Q.  q  L  r  Q.  r  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U
4137, 40anbi12d 445 . . . . 5  U  L  C_  Q.  C_  Q.  q 
Q.  q  L  r  Q.  r  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U
42 eleq2 2079 . . . . . . . . . . 11  U 
q  q  U
4342anbi2d 440 . . . . . . . . . 10  U  q  <Q  r  q  q  <Q  r  q  U
4443rexbidv 2301 . . . . . . . . 9  U  q  Q.  q  <Q  r  q  q  Q.  q  <Q  r  q  U
4538, 44bibi12d 224 . . . . . . . 8  U  r  q  Q.  q  <Q  r  q  r  U  q  Q.  q  <Q  r  q  U
4645ralbidv 2300 . . . . . . 7  U  r  Q.  r  q  Q.  q  <Q  r  q  r  Q.  r  U  q  Q.  q  <Q  r  q  U
4746anbi2d 440 . . . . . 6  U  q  Q.  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L  r 
Q.  r  q 
Q.  q  <Q 
r  q  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U
4842anbi2d 440 . . . . . . . 8  U  q  L  q  q  L  q  U
4948notbid 579 . . . . . . 7  U  q  L  q  q  L  q  U
5049ralbidv 2300 . . . . . 6  U  q  Q.  q  L  q  q  Q.  q  L  q  U
5138orbi2d 691 . . . . . . . 8  U  q  L  r  q  L  r  U
5251imbi2d 219 . . . . . . 7  U  q  <Q  r  q  L  r  q  <Q  r  q  L  r  U
53522ralbidv 2322 . . . . . 6  U  q  Q.  r  Q. 
q  <Q  r 
q  L  r  q  Q.  r  Q. 
q  <Q  r 
q  L  r  U
5447, 50, 533anbi123d 1190 . . . . 5  U  q 
Q.  q  L  r 
Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  L  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  q  Q.  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L  r 
Q.  r  U  q 
Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
5541, 54anbi12d 445 . . . 4  U  L  C_  Q.  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  L  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q 
Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
5635, 55opelopabg 3975 . . 3  L  _V  U  _V  <. L ,  U >.  { <. l ,  >.  |  l  C_  Q.  C_  Q.  q 
Q.  q  l  r  Q.  r  q  Q. 
q  l  r  Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  }  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
5715, 56syl5bb 181 . 2  L  _V  U  _V  <. L ,  U >.  P.  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q 
Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
588, 13, 57pm5.21nii 607 1  <. L ,  U >.  P.  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 616   w3a 871   wceq 1226   wcel 1370  wral 2280  wrex 2281   _Vcvv 2531    C_ wss 2890   ~Pcpw 3330   <.cop 3349   class class class wbr 3734   {copab 3787    X. cxp 4266   Q.cnq 6134    <Q cltq 6139   P.cnp 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-qs 6019  df-ni 6158  df-nqqs 6201  df-inp 6314
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6324  prml  6325  prmu  6326  prssnql  6327  prssnqu  6328  prcdnql  6332  prcunqu  6333  prltlu  6335  prnmaxl  6336  prnminu  6337  prloc  6339  prdisj  6340  nqprlu  6395
  Copyright terms: Public domain W3C validator