ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elinp Structured version   Unicode version

Theorem elinp 6457
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp  <. L ,  U >.  P.  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
Distinct variable groups:    r, q, L    U, q, r

Proof of Theorem elinp
Dummy variables  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 6454 . . . . 5  P.  C_  ~P Q.  X.  ~P Q.
21sseli 2935 . . . 4  <. L ,  U >.  P.  <. L ,  U >.  ~P Q.  X.  ~P Q.
3 opelxp 4317 . . . 4  <. L ,  U >.  ~P Q.  X.  ~P Q.  L  ~P Q.  U  ~P Q.
42, 3sylib 127 . . 3  <. L ,  U >.  P.  L  ~P Q.  U  ~P Q.
5 elex 2560 . . . 4  L  ~P Q.  L  _V
6 elex 2560 . . . 4  U  ~P Q.  U  _V
75, 6anim12i 321 . . 3  L  ~P Q.  U  ~P Q.  L 
_V  U  _V
84, 7syl 14 . 2  <. L ,  U >.  P.  L  _V  U  _V
9 nqex 6347 . . . . 5  Q.  _V
109ssex 3885 . . . 4  L 
C_  Q.  L 
_V
119ssex 3885 . . . 4  U 
C_  Q.  U 
_V
1210, 11anim12i 321 . . 3  L  C_  Q.  U  C_ 
Q.  L  _V  U  _V
1312ad2antrr 457 . 2  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U  L  _V  U  _V
14 df-inp 6449 . . . 4  P.  { <. l ,  >.  |  l  C_  Q.  C_ 
Q.  q  Q.  q  l  r  Q.  r  q 
Q.  q  l  r 
Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  }
1514eleq2i 2101 . . 3  <. L ,  U >.  P.  <. L ,  U >. 
{ <. l ,  >.  |  l  C_  Q.  C_ 
Q.  q  Q.  q  l  r  Q.  r  q 
Q.  q  l  r 
Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  }
16 sseq1 2960 . . . . . . 7  l  L 
l  C_  Q.  L  C_  Q.
1716anbi1d 438 . . . . . 6  l  L  l  C_  Q.  C_  Q.  L 
C_  Q.  C_ 
Q.
18 eleq2 2098 . . . . . . . 8  l  L 
q  l  q  L
1918rexbidv 2321 . . . . . . 7  l  L  q  Q.  q  l  q  Q.  q  L
2019anbi1d 438 . . . . . 6  l  L  q  Q.  q  l  r  Q.  r  q  Q.  q  L  r  Q.  r
2117, 20anbi12d 442 . . . . 5  l  L  l  C_  Q.  C_  Q.  q 
Q.  q  l  r  Q.  r  L  C_  Q.  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r
22 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11  l  L 
r  l  r  L
2322anbi2d 437 . . . . . . . . . 10  l  L  q  <Q  r  r  l  q  <Q  r  r  L
2423rexbidv 2321 . . . . . . . . 9  l  L  r  Q.  q  <Q  r  r  l  r  Q.  q  <Q  r  r  L
2518, 24bibi12d 224 . . . . . . . 8  l  L  q  l  r  Q.  q  <Q  r  r  l  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L
2625ralbidv 2320 . . . . . . 7  l  L  q  Q.  q  l  r  Q.  q  <Q  r  r  l  q  Q.  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L
2726anbi1d 438 . . . . . 6  l  L  q  Q.  q  l  r  Q.  q  <Q  r  r  l  r 
Q.  r  q 
Q.  q  <Q 
r  q  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q
2818anbi1d 438 . . . . . . . 8  l  L  q  l  q  q  L  q
2928notbid 591 . . . . . . 7  l  L  q  l  q  q  L  q
3029ralbidv 2320 . . . . . 6  l  L  q  Q.  q  l  q  q  Q.  q  L  q
3118orbi1d 704 . . . . . . . 8  l  L  q  l  r  q  L  r
3231imbi2d 219 . . . . . . 7  l  L  q  <Q  r  q  l  r  q  <Q  r  q  L  r
33322ralbidv 2342 . . . . . 6  l  L  q  Q.  r  Q. 
q  <Q  r 
q  l  r  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r
3427, 30, 333anbi123d 1206 . . . . 5  l  L  q 
Q.  q  l  r 
Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  q  Q.  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L  r 
Q.  r  q 
Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  L  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r
3521, 34anbi12d 442 . . . 4  l  L  l  C_  Q.  C_  Q.  q  Q.  q  l  r  Q.  r  q  Q. 
q  l  r  Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  L  C_  Q.  C_  Q.  q 
Q.  q  L  r  Q.  r  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  L  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r
36 sseq1 2960 . . . . . . 7  U  C_  Q.  U  C_  Q.
3736anbi2d 437 . . . . . 6  U  L  C_  Q.  C_  Q.  L 
C_  Q.  U  C_  Q.
38 eleq2 2098 . . . . . . . 8  U 
r  r  U
3938rexbidv 2321 . . . . . . 7  U  r  Q.  r  r  Q.  r  U
4039anbi2d 437 . . . . . 6  U  q  Q.  q  L  r  Q.  r  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U
4137, 40anbi12d 442 . . . . 5  U  L  C_  Q.  C_  Q.  q 
Q.  q  L  r  Q.  r  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U
42 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11  U 
q  q  U
4342anbi2d 437 . . . . . . . . . 10  U  q  <Q  r  q  q  <Q  r  q  U
4443rexbidv 2321 . . . . . . . . 9  U  q  Q.  q  <Q  r  q  q  Q.  q  <Q  r  q  U
4538, 44bibi12d 224 . . . . . . . 8  U  r  q  Q.  q  <Q  r  q  r  U  q  Q.  q  <Q  r  q  U
4645ralbidv 2320 . . . . . . 7  U  r  Q.  r  q  Q.  q  <Q  r  q  r  Q.  r  U  q  Q.  q  <Q  r  q  U
4746anbi2d 437 . . . . . 6  U  q  Q.  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L  r 
Q.  r  q 
Q.  q  <Q 
r  q  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U
4842anbi2d 437 . . . . . . . 8  U  q  L  q  q  L  q  U
4948notbid 591 . . . . . . 7  U  q  L  q  q  L  q  U
5049ralbidv 2320 . . . . . 6  U  q  Q.  q  L  q  q  Q.  q  L  q  U
5138orbi2d 703 . . . . . . . 8  U  q  L  r  q  L  r  U
5251imbi2d 219 . . . . . . 7  U  q  <Q  r  q  L  r  q  <Q  r  q  L  r  U
53522ralbidv 2342 . . . . . 6  U  q  Q.  r  Q. 
q  <Q  r 
q  L  r  q  Q.  r  Q. 
q  <Q  r 
q  L  r  U
5447, 50, 533anbi123d 1206 . . . . 5  U  q 
Q.  q  L  r 
Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  L  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  q  Q.  q  L  r  Q.  q  <Q  r  r  L  r 
Q.  r  U  q 
Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
5541, 54anbi12d 442 . . . 4  U  L  C_  Q.  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  L  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q 
Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
5635, 55opelopabg 3996 . . 3  L  _V  U  _V  <. L ,  U >.  { <. l ,  >.  |  l  C_  Q.  C_  Q.  q 
Q.  q  l  r  Q.  r  q  Q. 
q  l  r  Q.  q  <Q 
r  r  l  r  Q. 
r  q  Q.  q  <Q 
r  q  q  Q.  q  l  q  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  l  r  }  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
5715, 56syl5bb 181 . 2  L  _V  U  _V  <. L ,  U >.  P.  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q 
Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
588, 13, 57pm5.21nii 619 1  <. L ,  U >.  P.  L  C_  Q.  U  C_  Q.  q  Q.  q  L  r  Q.  r  U  q  Q. 
q  L  r  Q.  q  <Q 
r  r  L  r  Q. 
r  U  q  Q.  q  <Q 
r  q  U  q  Q.  q  L  q  U  q 
Q.  r  Q.  q  <Q  r  q  L  r  U
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   ~Pcpw 3351   <.cop 3370   class class class wbr 3755   {copab 3808    X. cxp 4286   Q.cnq 6264    <Q cltq 6269   P.cnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-inp 6449
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6459  prml  6460  prmu  6461  prssnql  6462  prssnqu  6463  prcdnql  6467  prcunqu  6468  prltlu  6470  prnmaxl  6471  prnminu  6472  prloc  6474  prdisj  6475  nqprxx  6529
  Copyright terms: Public domain W3C validator