Theorem prltlu 6585

Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prltlu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Proof of Theorem prltlu

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 906	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. U )
2		elprnqu 6580	. . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> C e. Q. )
3	2	3adant2 923	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. Q. )
4		elinp 6572	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
5		simpr2 911	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
6	4, 5	sylbi 114	. . . . . 6 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
7	6	3ad2ant1 925	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
8		eleq1 2100	. . . . . . . 8 |- ( q = C -> ( q e. L <-> C e. L ) )
9		eleq1 2100	. . . . . . . 8 |- ( q = C -> ( q e. U <-> C e. U ) )
10	8, 9	anbi12d 442	. . . . . . 7 |- ( q = C -> ( ( q e. L /\ q e. U ) <-> ( C e. L /\ C e. U ) ) )
11	10	notbid 592	. . . . . 6 |- ( q = C -> ( -. ( q e. L /\ q e. U ) <-> -. ( C e. L /\ C e. U ) ) )
12	11	rspcv 2652	. . . . 5 |- ( C e. Q. -> ( A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) -> -. ( C e. L /\ C e. U ) ) )
13	3, 7, 12	sylc 56	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. ( C e. L /\ C e. U ) )
14		ancom 253	. . . . . 6 |- ( ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U /\ C e. L ) )
15	14	notbii 594	. . . . 5 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
16		imnan 624	. . . . 5 |- ( ( C e. U -> -. C e. L ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
17	15, 16	bitr4i 176	. . . 4 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U -> -. C e. L ) )
18	13, 17	sylib 127	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( C e. U -> -. C e. L ) )
19	1, 18	mpd 13	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. C e. L )
20		3simpa 901	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) )
21		prubl 6584	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
22	20, 3, 21	syl2anc 391	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
23	19, 22	mpd 13	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   C_ wss 2917   <.cop 3378   class class class wbr 3764   Q.cnq 6378   <Q cltq 6383   P.cnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  genpdisj  6621  prmuloc  6664  ltprordil  6687  ltpopr  6693  ltexprlemopu  6701  ltexprlemdisj  6704  ltexprlemfl  6707  ltexprlemfu  6709  ltexprlemru  6710  recexprlemdisj  6728  recexprlemss1l  6733  recexprlemss1u  6734