Theorem npsspw 6569

Description: Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
npsspw	|- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )

Proof of Theorem npsspw

Dummy variables u l q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 481	. . . 4 |- ( ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) -> ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) )
2		selpw 3366	. . . . 5 |- ( l e. ~P Q. <-> l C_ Q. )
3		selpw 3366	. . . . 5 |- ( u e. ~P Q. <-> u C_ Q. )
4	2, 3	anbi12i 433	. . . 4 |- ( ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) <-> ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) )
5	1, 4	sylibr 137	. . 3 |- ( ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) -> ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) )
6	5	ssopab2i 4014	. 2 |- { <. l , u >. | ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) } C_ { <. l , u >. | ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) }
7		df-inp 6564	. 2 |- P. = { <. l , u >. | ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) }
8		df-xp 4351	. 2 |- ( ~P Q. X. ~P Q. ) = { <. l , u >. | ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) }
9	6, 7, 8	3sstr4i 2984	1 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   /\ w3a 885   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   C_ wss 2917   ~Pcpw 3359   class class class wbr 3764   {copab 3817   X. cxp 4343   Q.cnq 6378   <Q cltq 6383   P.cnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-opab 3819  df-xp 4351  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  preqlu  6570  npex  6571  elinp  6572  prop  6573  elnp1st2nd  6574  cauappcvgprlemladd  6756