Theorem prmu 6576

Description: A positive real's upper cut is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prmu	|- ( <. L , U >. e. P. -> E. x e. Q. x e. U )

Distinct variable groups:   x, L   x, U

Proof of Theorem prmu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 6572	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) )
2		simplrr 488	. 2 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) -> E. x e. Q. x e. U )
3	1, 2	sylbi 114	1 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. x e. Q. x e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   /\ w3a 885   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   C_ wss 2917   <.cop 3378   class class class wbr 3764   Q.cnq 6378   <Q cltq 6383   P.cnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-qs 6112  df-ni 6402  df-nqqs 6446  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  prarloc  6601  genpmu  6616  ltexprlemm  6698  ltexprlemloc  6705  recexprlemm  6722  archpr  6741  caucvgprprlemmu  6793