ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elinp GIF version

Theorem elinp 6572
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟

Proof of Theorem elinp
Dummy variables 𝑢 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 6569 . . . . 5 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 2941 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 opelxp 4374 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) ↔ (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q))
42, 3sylib 127 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q))
5 elex 2566 . . . 4 (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝐿 ∈ V)
6 elex 2566 . . . 4 (𝑈 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ V)
75, 6anim12i 321 . . 3 ((𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
84, 7syl 14 . 2 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
9 nqex 6461 . . . . 5 Q ∈ V
109ssex 3894 . . . 4 (𝐿Q𝐿 ∈ V)
119ssex 3894 . . . 4 (𝑈Q𝑈 ∈ V)
1210, 11anim12i 321 . . 3 ((𝐿Q𝑈Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
1312ad2antrr 457 . 2 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
14 df-inp 6564 . . . 4 P = {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))}
1514eleq2i 2104 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))})
16 sseq1 2966 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙Q𝐿Q))
1716anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙Q𝑢Q) ↔ (𝐿Q𝑢Q)))
18 eleq2 2101 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞𝑙𝑞𝐿))
1918rexbidv 2327 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ↔ ∃𝑞Q 𝑞𝐿))
2019anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢) ↔ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)))
2117, 20anbi12d 442 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ↔ ((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢))))
22 eleq2 2101 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟𝑙𝑟𝐿))
2322anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)))
2423rexbidv 2327 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)))
2518, 24bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ↔ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿))))
2625ralbidv 2326 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ↔ ∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿))))
2726anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ↔ (∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)))))
2818anbi1d 438 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
2928notbid 592 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
3029ralbidv 2326 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
3118orbi1d 705 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙𝑟𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑟𝑢)))
3231imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))
33322ralbidv 2348 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)) ↔ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))
3427, 30, 333anbi123d 1207 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))) ↔ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)))))
3521, 34anbi12d 442 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → ((((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)))) ↔ (((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))))
36 sseq1 2966 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢Q𝑈Q))
3736anbi2d 437 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐿Q𝑢Q) ↔ (𝐿Q𝑈Q)))
38 eleq2 2101 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑟𝑢𝑟𝑈))
3938rexbidv 2327 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑟Q 𝑟𝑢 ↔ ∃𝑟Q 𝑟𝑈))
4039anbi2d 437 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢) ↔ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)))
4137, 40anbi12d 442 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ↔ ((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈))))
42 eleq2 2101 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑈 → (𝑞𝑢𝑞𝑈))
4342anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))
4443rexbidv 2327 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))
4538, 44bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)) ↔ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))))
4645ralbidv 2326 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)) ↔ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))))
4746anbi2d 437 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ↔ (∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))))
4842anbi2d 437 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
4948notbid 592 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
5049ralbidv 2326 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
5138orbi2d 704 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞𝐿𝑟𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
5251imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))
53522ralbidv 2348 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)) ↔ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))
5447, 50, 533anbi123d 1207 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))) ↔ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
5541, 54anbi12d 442 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → ((((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)))) ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
5635, 55opelopabg 4005 . . 3 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))} ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
5715, 56syl5bb 181 . 2 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
588, 13, 57pm5.21nii 620 1 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2306  wrex 2307  Vcvv 2557  wss 2917  𝒫 cpw 3359  cop 3378   class class class wbr 3764  {copab 3817   × cxp 4343  Qcnq 6378   <Q cltq 6383  Pcnp 6389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-qs 6112  df-ni 6402  df-nqqs 6446  df-inp 6564
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6574  prml  6575  prmu  6576  prssnql  6577  prssnqu  6578  prcdnql  6582  prcunqu  6583  prltlu  6585  prnmaxl  6586  prnminu  6587  prloc  6589  prdisj  6590  nqprxx  6644
  Copyright terms: Public domain W3C validator