ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elinp Structured version   GIF version

Theorem elinp 6456
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟

Proof of Theorem elinp
Dummy variables u 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 6453 . . . . 5 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 2935 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 P → ⟨𝐿, 𝑈 (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 opelxp 4317 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 (𝒫 Q × 𝒫 Q) ↔ (𝐿 𝒫 Q 𝑈 𝒫 Q))
42, 3sylib 127 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈 P → (𝐿 𝒫 Q 𝑈 𝒫 Q))
5 elex 2560 . . . 4 (𝐿 𝒫 Q𝐿 V)
6 elex 2560 . . . 4 (𝑈 𝒫 Q𝑈 V)
75, 6anim12i 321 . . 3 ((𝐿 𝒫 Q 𝑈 𝒫 Q) → (𝐿 V 𝑈 V))
84, 7syl 14 . 2 (⟨𝐿, 𝑈 P → (𝐿 V 𝑈 V))
9 nqex 6347 . . . . 5 Q V
109ssex 3885 . . . 4 (𝐿Q𝐿 V)
119ssex 3885 . . . 4 (𝑈Q𝑈 V)
1210, 11anim12i 321 . . 3 ((𝐿Q 𝑈Q) → (𝐿 V 𝑈 V))
1312ad2antrr 457 . 2 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))) → (𝐿 V 𝑈 V))
14 df-inp 6448 . . . 4 P = {⟨𝑙, u⟩ ∣ (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))))}
1514eleq2i 2101 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ ⟨𝐿, 𝑈 {⟨𝑙, u⟩ ∣ (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))))})
16 sseq1 2960 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙Q𝐿Q))
1716anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙Q uQ) ↔ (𝐿Q uQ)))
18 eleq2 2098 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 𝑙𝑞 𝐿))
1918rexbidv 2321 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q 𝑞 𝑙𝑞 Q 𝑞 𝐿))
2019anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u) ↔ (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)))
2117, 20anbi12d 442 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ↔ ((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u))))
22 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟 𝑙𝑟 𝐿))
2322anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)))
2423rexbidv 2321 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙) ↔ 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)))
2518, 24bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) ↔ (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿))))
2625ralbidv 2320 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) ↔ 𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿))))
2726anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) ↔ (𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u)))))
2818anbi1d 438 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 𝑙 𝑞 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑞 u)))
2928notbid 591 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) ↔ ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u)))
3029ralbidv 2320 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) ↔ 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u)))
3118orbi1d 704 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 𝑙 𝑟 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑟 u)))
3231imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))))
33322ralbidv 2342 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u)) ↔ 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))))
3427, 30, 333anbi123d 1206 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))) ↔ ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)))))
3521, 34anbi12d 442 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → ((((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u)))) ↔ (((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))))))
36 sseq1 2960 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (uQ𝑈Q))
3736anbi2d 437 . . . . . 6 (u = 𝑈 → ((𝐿Q uQ) ↔ (𝐿Q 𝑈Q)))
38 eleq2 2098 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → (𝑟 u𝑟 𝑈))
3938rexbidv 2321 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (𝑟 Q 𝑟 u𝑟 Q 𝑟 𝑈))
4039anbi2d 437 . . . . . 6 (u = 𝑈 → ((𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u) ↔ (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)))
4137, 40anbi12d 442 . . . . 5 (u = 𝑈 → (((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)) ↔ ((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈))))
42 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11 (u = 𝑈 → (𝑞 u𝑞 𝑈))
4342anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (u = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈)))
4443rexbidv 2321 . . . . . . . . 9 (u = 𝑈 → (𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u) ↔ 𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈)))
4538, 44bibi12d 224 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → ((𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u)) ↔ (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))))
4645ralbidv 2320 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u)) ↔ 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))))
4746anbi2d 437 . . . . . 6 (u = 𝑈 → ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) ↔ (𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈)))))
4842anbi2d 437 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → ((𝑞 𝐿 𝑞 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)))
4948notbid 591 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) ↔ ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)))
5049ralbidv 2320 . . . . . 6 (u = 𝑈 → (𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) ↔ 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)))
5138orbi2d 703 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → ((𝑞 𝐿 𝑟 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))
5251imbi2d 219 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))
53522ralbidv 2342 . . . . . 6 (u = 𝑈 → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)) ↔ 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))
5447, 50, 533anbi123d 1206 . . . . 5 (u = 𝑈 → (((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))) ↔ ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
5541, 54anbi12d 442 . . . 4 (u = 𝑈 → ((((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)))) ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))))
5635, 55opelopabg 3996 . . 3 ((𝐿 V 𝑈 V) → (⟨𝐿, 𝑈 {⟨𝑙, u⟩ ∣ (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))))} ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))))
5715, 56syl5bb 181 . 2 ((𝐿 V 𝑈 V) → (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))))
588, 13, 57pm5.21nii 619 1 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  Vcvv 2551  wss 2911  𝒫 cpw 3351  cop 3370   class class class wbr 3755  {copab 3808   × cxp 4286  Qcnq 6264   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6458  prml  6459  prmu  6460  prssnql  6461  prssnqu  6462  prcdnql  6466  prcunqu  6467  prltlu  6469  prnmaxl  6470  prnminu  6471  prloc  6473  prdisj  6474  nqprxx  6528
  Copyright terms: Public domain W3C validator