ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elinp Structured version   GIF version

Theorem elinp 6328
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟

Proof of Theorem elinp
Dummy variables u 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 6325 . . . . 5 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 2918 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 P → ⟨𝐿, 𝑈 (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 opelxp 4301 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 (𝒫 Q × 𝒫 Q) ↔ (𝐿 𝒫 Q 𝑈 𝒫 Q))
42, 3sylib 127 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈 P → (𝐿 𝒫 Q 𝑈 𝒫 Q))
5 elex 2543 . . . 4 (𝐿 𝒫 Q𝐿 V)
6 elex 2543 . . . 4 (𝑈 𝒫 Q𝑈 V)
75, 6anim12i 321 . . 3 ((𝐿 𝒫 Q 𝑈 𝒫 Q) → (𝐿 V 𝑈 V))
84, 7syl 14 . 2 (⟨𝐿, 𝑈 P → (𝐿 V 𝑈 V))
9 nqex 6222 . . . . 5 Q V
109ssex 3868 . . . 4 (𝐿Q𝐿 V)
119ssex 3868 . . . 4 (𝑈Q𝑈 V)
1210, 11anim12i 321 . . 3 ((𝐿Q 𝑈Q) → (𝐿 V 𝑈 V))
1312ad2antrr 460 . 2 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))) → (𝐿 V 𝑈 V))
14 df-inp 6320 . . . 4 P = {⟨𝑙, u⟩ ∣ (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))))}
1514eleq2i 2086 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ ⟨𝐿, 𝑈 {⟨𝑙, u⟩ ∣ (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))))})
16 sseq1 2943 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙Q𝐿Q))
1716anbi1d 441 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙Q uQ) ↔ (𝐿Q uQ)))
18 eleq2 2083 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 𝑙𝑞 𝐿))
1918rexbidv 2305 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q 𝑞 𝑙𝑞 Q 𝑞 𝐿))
2019anbi1d 441 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u) ↔ (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)))
2117, 20anbi12d 445 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ↔ ((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u))))
22 eleq2 2083 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟 𝑙𝑟 𝐿))
2322anbi2d 440 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)))
2423rexbidv 2305 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙) ↔ 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)))
2518, 24bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) ↔ (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿))))
2625ralbidv 2304 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) ↔ 𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿))))
2726anbi1d 441 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) ↔ (𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u)))))
2818anbi1d 441 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 𝑙 𝑞 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑞 u)))
2928notbid 579 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) ↔ ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u)))
3029ralbidv 2304 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) ↔ 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u)))
3118orbi1d 692 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 𝑙 𝑟 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑟 u)))
3231imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))))
33322ralbidv 2326 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u)) ↔ 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))))
3427, 30, 333anbi123d 1192 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))) ↔ ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)))))
3521, 34anbi12d 445 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → ((((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u)))) ↔ (((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))))))
36 sseq1 2943 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (uQ𝑈Q))
3736anbi2d 440 . . . . . 6 (u = 𝑈 → ((𝐿Q uQ) ↔ (𝐿Q 𝑈Q)))
38 eleq2 2083 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → (𝑟 u𝑟 𝑈))
3938rexbidv 2305 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (𝑟 Q 𝑟 u𝑟 Q 𝑟 𝑈))
4039anbi2d 440 . . . . . 6 (u = 𝑈 → ((𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u) ↔ (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)))
4137, 40anbi12d 445 . . . . 5 (u = 𝑈 → (((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)) ↔ ((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈))))
42 eleq2 2083 . . . . . . . . . . 11 (u = 𝑈 → (𝑞 u𝑞 𝑈))
4342anbi2d 440 . . . . . . . . . 10 (u = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈)))
4443rexbidv 2305 . . . . . . . . 9 (u = 𝑈 → (𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u) ↔ 𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈)))
4538, 44bibi12d 224 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → ((𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u)) ↔ (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))))
4645ralbidv 2304 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u)) ↔ 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))))
4746anbi2d 440 . . . . . 6 (u = 𝑈 → ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) ↔ (𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈)))))
4842anbi2d 440 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → ((𝑞 𝐿 𝑞 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)))
4948notbid 579 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) ↔ ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)))
5049ralbidv 2304 . . . . . 6 (u = 𝑈 → (𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) ↔ 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)))
5138orbi2d 691 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → ((𝑞 𝐿 𝑟 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))
5251imbi2d 219 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))
53522ralbidv 2326 . . . . . 6 (u = 𝑈 → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)) ↔ 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))
5447, 50, 533anbi123d 1192 . . . . 5 (u = 𝑈 → (((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))) ↔ ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
5541, 54anbi12d 445 . . . 4 (u = 𝑈 → ((((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)))) ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))))
5635, 55opelopabg 3979 . . 3 ((𝐿 V 𝑈 V) → (⟨𝐿, 𝑈 {⟨𝑙, u⟩ ∣ (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))))} ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))))
5715, 56syl5bb 181 . 2 ((𝐿 V 𝑈 V) → (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))))
588, 13, 57pm5.21nii 607 1 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3a 873   = wceq 1228   wcel 1374  wral 2284  wrex 2285  Vcvv 2535  wss 2894  𝒫 cpw 3334  cop 3353   class class class wbr 3738  {copab 3791   × cxp 4270  Qcnq 6138   <Q cltq 6143  Pcnp 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-id 4004  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-qs 6023  df-ni 6164  df-nqqs 6207  df-inp 6320
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6330  prml  6331  prmu  6332  prssnql  6333  prssnqu  6334  prcdnql  6338  prcunqu  6339  prltlu  6341  prnmaxl  6342  prnminu  6343  prloc  6345  prdisj  6346  nqprlu  6401
  Copyright terms: Public domain W3C validator