Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnqprulem Unicode version

 Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression

Proof of Theorem addnqprulem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . 5
2 ltrnqi 6519 . . . . . 6
3 simplr 482 . . . . . . . . 9
4 recclnq 6490 . . . . . . . . 9
53, 4syl 14 . . . . . . . 8
6 ltrelnq 6463 . . . . . . . . . . . 12
76brel 4392 . . . . . . . . . . 11
87adantl 262 . . . . . . . . . 10
98simpld 105 . . . . . . . . 9
10 recclnq 6490 . . . . . . . . 9
119, 10syl 14 . . . . . . . 8
12 ltmnqg 6499 . . . . . . . 8
135, 11, 3, 12syl3anc 1135 . . . . . . 7
14 ltmnqg 6499 . . . . . . . . 9
1514adantl 262 . . . . . . . 8
16 mulclnq 6474 . . . . . . . . 9
173, 5, 16syl2anc 391 . . . . . . . 8
18 mulclnq 6474 . . . . . . . . 9
193, 11, 18syl2anc 391 . . . . . . . 8
20 elprnqu 6580 . . . . . . . . 9
2120ad2antrr 457 . . . . . . . 8
22 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . 9
2322adantl 262 . . . . . . . 8
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5670 . . . . . . 7
2513, 24bitrd 177 . . . . . 6
262, 25syl5ib 143 . . . . 5
271, 26mpd 13 . . . 4
28 recidnq 6491 . . . . . . . 8
2928oveq1d 5527 . . . . . . 7
30 1nq 6464 . . . . . . . . 9
31 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . 9
3230, 31mpan 400 . . . . . . . 8
33 mulidnq 6487 . . . . . . . 8
3432, 33eqtrd 2072 . . . . . . 7
3529, 34sylan9eqr 2094 . . . . . 6
3635breq1d 3774 . . . . 5
3721, 3, 36syl2anc 391 . . . 4
3827, 37mpbid 135 . . 3
39 prcunqu 6583 . . . 4
4039ad2antrr 457 . . 3
4138, 40mpd 13 . 2
4241ex 108 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 885   wceq 1243   wcel 1393  cop 3378   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  cnq 6378  c1q 6379   cmq 6381  crq 6382   cltq 6383  cnp 6389 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564 This theorem is referenced by:  addnqpru  6628
 Copyright terms: Public domain W3C validator