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Theorem addnqprulem 6626
Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprulem |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
Proof of Theorem addnqprulem
Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> S <Q X )
2 ltrnqi 6519 . . . . . 6 |- ( S <Q X -> ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) )
3 simplr 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> X e. Q. )
4 recclnq 6490 . . . . . . . . 9 |- ( X e. Q. -> ( *Q ` X ) e. Q. )
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( *Q ` X ) e. Q. )
6 ltrelnq 6463 . . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
76brel 4392 . . . . . . . . . . 11 |- ( S <Q X -> ( S e. Q. /\ X e. Q. ) )
87adantl 262 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( S e. Q. /\ X e. Q. ) )
98simpld 105 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> S e. Q. )
10 recclnq 6490 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Q. -> ( *Q ` S ) e. Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( *Q ` S ) e. Q. )
12 ltmnqg 6499 . . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` X ) e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) ) )
135, 11, 3, 12syl3anc 1135 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) ) )
14 ltmnqg 6499 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
1514adantl 262 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
16 mulclnq 6474 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
173, 5, 16syl2anc 391 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
18 mulclnq 6474 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
193, 11, 18syl2anc 391 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
20 elprnqu 6580 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) -> G e. Q. )
2120ad2antrr 457 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> G e. Q. )
22 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2322adantl 262 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5670 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
2513, 24bitrd 177 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
262, 25syl5ib 143 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) )
28 recidnq 6491 . . . . . . . 8 |- ( X e. Q. -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) = 1Q )
2928oveq1d 5527 . . . . . . 7 |- ( X e. Q. -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = ( 1Q .Q G ) )
30 1nq 6464 . . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
31 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ G e. Q. ) -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
3230, 31mpan 400 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
33 mulidnq 6487 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( G .Q 1Q ) = G )
3432, 33eqtrd 2072 . . . . . . 7 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = G )
3529, 34sylan9eqr 2094 . . . . . 6 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = G )
3635breq1d 3774 . . . . 5 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <-> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
3721, 3, 36syl2anc 391 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <-> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
3827, 37mpbid 135 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) )
39 prcunqu 6583 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) -> ( G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
4039ad2antrr 457 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
4138, 40mpd 13 . 2 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U )
4241ex 108 1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   Q.cnq 6378   1Qc1q 6379   .Q cmq 6381   *Qcrq 6382   <Q cltq 6383   P.cnp 6389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564
This theorem is referenced by:  addnqpru  6628
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