ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprrnd Structured version   Unicode version

Theorem nqprrnd 6526
Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 6530. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprrnd  Q.  q  Q.  q  {  |  <Q  }  r  Q.  q  <Q  r  r  {  |  <Q  }  r  Q.  r 
{  |  <Q  }  q  Q.  q  <Q 
r  q  {  |  <Q  }
Distinct variable group:   ,, r, q

Proof of Theorem nqprrnd
StepHypRef Expression
1 ltbtwnnqq 6398 . . . . . 6 
<Q  r  q  Q.  <Q  q  q  <Q  r
2 ancom 253 . . . . . . 7  <Q  q  q  <Q  r  q 
<Q  r  <Q  q
32rexbii 2325 . . . . . 6  q  Q.  <Q  q  q  <Q  r  q  Q.  q  <Q 
r  <Q  q
41, 3bitri 173 . . . . 5 
<Q  r  q  Q.  q  <Q 
r  <Q  q
5 vex 2554 . . . . . 6  r 
_V
6 breq2 3759 . . . . . 6  r  <Q  <Q  r
75, 6elab 2681 . . . . 5  r  {  |  <Q  }  <Q  r
8 vex 2554 . . . . . . . 8  q 
_V
9 breq2 3759 . . . . . . . 8  q  <Q  <Q  q
108, 9elab 2681 . . . . . . 7  q  {  |  <Q  }  <Q  q
1110anbi2i 430 . . . . . 6  q  <Q  r  q  {  |  <Q  }  q  <Q  r  <Q  q
1211rexbii 2325 . . . . 5  q  Q. 
q  <Q  r  q  {  |  <Q  }  q  Q.  q  <Q 
r  <Q  q
134, 7, 123bitr4i 201 . . . 4  r  {  |  <Q  }  q  Q.  q  <Q 
r  q  {  |  <Q  }
1413rgenw 2370 . . 3  r  Q.  r 
{  |  <Q  }  q  Q.  q  <Q 
r  q  {  |  <Q  }
1514a1i 9 . 2  Q.  r  Q. 
r  {  |  <Q  }  q  Q.  q  <Q  r  q  {  |  <Q  }
16 ltbtwnnqq 6398 . . . 4  q 
<Q  r 
Q.  q  <Q 
r  r  <Q
17 breq1 3758 . . . . 5  q  <Q  q  <Q
188, 17elab 2681 . . . 4  q  {  |  <Q  }  q  <Q
19 breq1 3758 . . . . . . 7  r  <Q  r  <Q
205, 19elab 2681 . . . . . 6  r  {  |  <Q  }  r  <Q
2120anbi2i 430 . . . . 5  q  <Q  r  r  {  |  <Q  }  q  <Q  r  r  <Q
2221rexbii 2325 . . . 4  r  Q. 
q  <Q  r  r  {  | 
<Q  }  r  Q.  q  <Q 
r  r  <Q
2316, 18, 223bitr4i 201 . . 3  q  {  |  <Q  }  r  Q.  q  <Q 
r  r  {  |  <Q  }
2423rgenw 2370 . 2  q  Q.  q 
{  | 
<Q  }  r  Q.  q  <Q 
r  r  {  |  <Q  }
2515, 24jctil 295 1  Q.  q  Q.  q  {  |  <Q  }  r  Q.  q  <Q  r  r  {  |  <Q  }  r  Q.  r 
{  |  <Q  }  q  Q.  q  <Q 
r  q  {  |  <Q  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   class class class wbr 3755   Q.cnq 6264    <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  nqprxx  6529
  Copyright terms: Public domain W3C validator