Theorem nqprrnd 6641

Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 6645. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprrnd	⊢ (𝐴 ∈ Q → (∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 6513	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟))
2		ancom 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
3	2	rexbii 2331	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
4	1, 3	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
5		vex 2560	. . . . . 6 ⊢ 𝑟 ∈ V
6		breq2 3768	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
7	5, 6	elab 2687	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
8		vex 2560	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑞 ∈ V
9		breq2 3768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑞))
10	8, 9	elab 2687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑞)
11	10	anbi2i 430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
12	11	rexbii 2331	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
13	4, 7, 12	3bitr4i 201	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
14	13	rgenw 2376	. . 3 ⊢ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
15	14	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
16		ltbtwnnqq 6513	. . . 4 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 <Q 𝐴))
17		breq1 3767	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
18	8, 17	elab 2687	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
19		breq1 3767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑟 <Q 𝐴))
20	5, 19	elab 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑟 <Q 𝐴)
21	20	anbi2i 430	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 <Q 𝐴))
22	21	rexbii 2331	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 <Q 𝐴))
23	16, 18, 22	3bitr4i 201	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
24	23	rgenw 2376	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
25	15, 24	jctil 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1393  {cab 2026  ∀wral 2306  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  Qcnq 6378   <_Q cltq 6383

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451

This theorem is referenced by:  nqprxx  6644