Theorem ialgcvga 9890

Description: The countdown function C remains 0 after N steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	|- F : S --> S
algcvga.2	|- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) , S )
algcvga.3	|- C : S --> NN0
algcvga.4	|- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
algcvga.5	|- N = ( C ` A )
ialgcvga.s	|- S e. V

Assertion

Ref	Expression
ialgcvga	|- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   z, C   z, F   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   A( z)   K( z)   N( z)   V( z)

Proof of Theorem ialgcvga

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . 3 |- N = ( C ` A )
2		algcvga.3	. . . 4 |- C : S --> NN0
3	2	ffvelrni 5301	. . 3 |- ( A e. S -> ( C ` A ) e. NN0 )
4	1, 3	syl5eqel 2124	. 2 |- ( A e. S -> N e. NN0 )
5		nn0z 8265	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
6		eluz1 8477	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( K e. ZZ /\ N <_ K ) ) )
7		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( R ` m ) = ( R ` N ) )
8	7	fveq2d 5182	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` N ) ) )
9	8	eqeq1d 2048	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
10	9	imbi2d 219	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) ) )
11		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( R ` m ) = ( R ` k ) )
12	11	fveq2d 5182	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
13	12	eqeq1d 2048	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) )
14	13	imbi2d 219	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) ) )
15		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( R ` m ) = ( R ` ( k + 1 ) ) )
16	15	fveq2d 5182	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) )
17	16	eqeq1d 2048	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
18	17	imbi2d 219	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
19		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( m = K -> ( R ` m ) = ( R ` K ) )
20	19	fveq2d 5182	. . . . . . . . 9 |- ( m = K -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` K ) ) )
21	20	eqeq1d 2048	. . . . . . . 8 |- ( m = K -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
22	21	imbi2d 219	. . . . . . 7 |- ( m = K -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
23		algcvga.1	. . . . . . . . 9 |- F : S --> S
24		algcvga.2	. . . . . . . . 9 |- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) , S )
25		algcvga.4	. . . . . . . . 9 |- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
26		ialgcvga.s	. . . . . . . . 9 |- S e. V
27	23, 24, 2, 25, 1, 26	ialgcvg 9887	. . . . . . . 8 |- ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 )
28	27	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
29		nn0ge0 8207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
30	29	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> 0 <_ N )
31		nn0re 8190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
32		zre 8249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
33		0re 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
34		letr 7101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
35	33, 34	mp3an1 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
36	31, 32, 35	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
37	30, 36	mpand 405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> 0 <_ k ) )
38		elnn0z 8258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. ZZ /\ 0 <_ k ) )
39	38	simplbi2 367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
40	39	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
41	37, 40	syld 40	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
42	4, 41	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. S /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
43	42	impr 361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. S /\ ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) -> k e. NN0 )
44	43	expcom 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
45	44	3adant1 922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
46	45	ancld 308	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( A e. S /\ k e. NN0 ) ) )
47		nn0uz 8507	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
48		0zd 8257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> 0 e. ZZ )
49		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> A e. S )
50	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> F : S --> S )
51	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> S e. V )
52	47, 24, 48, 49, 50, 51	ialgrf 9884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. S -> R : NN0 --> S )
53	52	ffvelrnda 5302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` k ) e. S )
54		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( R ` k ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( R ` k ) ) )
55	54	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` ( F ` z ) ) = ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) )
56	55	neeq1d 2223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 ) )
57		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` z ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
58	55, 57	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
59	56, 58	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) <-> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) ) )
60	59, 25	vtoclga 2619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
61	23, 2	algcvgb 9889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) <-> ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) ) )
62		simpr 103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
63	61, 62	syl6bi 152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) )
64	60, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
65	53, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
66	47, 24, 48, 49, 50, 51	ialgrp1 9885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( R ` k ) ) )
67	66	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) )
68	67	eqeq1d 2048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
69	65, 68	sylibrd 158	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
70	46, 69	syl6 29	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
71	70	a2d 23	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
72	10, 14, 18, 22, 28, 71	uzind 8349	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
73	72	3expib 1107	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
74	6, 73	sylbid 139	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
75	5, 74	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
76	75	com3r 73	. 2 |- ( A e. S -> ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
77	4, 76	mpd 13	1 |- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   {csn 3375   class class class wbr 3764   X. cxp 4343   o. ccom 4349   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   1stc1st 5765   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   <_ cle 7061   NN0cn0 8181   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   seqcseq 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212

This theorem is referenced by:  ialgfx  9891