ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsuc2 Unicode version

Theorem fzsuc2 8711
Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzsuc2  M  ZZ  N  ZZ>= `  M  -  1  M ... N  + 
1  M ... N  u.  { N  +  1 }

Proof of Theorem fzsuc2
StepHypRef Expression
1 uzp1 8282 . 2  N  ZZ>= `  M  -  1  N  M  - 
1  N  ZZ>= `  M  -  1  +  1
2 zcn 8026 . . . . . . . 8  M  ZZ  M  CC
3 ax-1cn 6776 . . . . . . . 8  1  CC
4 npcan 7017 . . . . . . . 8  M  CC  1  CC  M  - 
1  +  1  M
52, 3, 4sylancl 392 . . . . . . 7  M  ZZ  M  -  1  +  1  M
65oveq2d 5471 . . . . . 6  M  ZZ  M ... M  -  1  + 
1  M ... M
7 uncom 3081 . . . . . . . 8  (/)  u. 
{ M }  { M }  u.  (/)
8 un0 3245 . . . . . . . 8  { M }  u.  (/)  { M }
97, 8eqtri 2057 . . . . . . 7  (/)  u. 
{ M }  { M }
10 zre 8025 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  RR
1110ltm1d 7679 . . . . . . . . 9  M  ZZ  M  -  1  <  M
12 peano2zm 8059 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  -  1  ZZ
13 fzn 8676 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  -  1  ZZ  M  - 
1  <  M  M ... M  -  1  (/)
1412, 13mpdan 398 . . . . . . . . 9  M  ZZ  M  -  1  <  M  M ... M  - 
1  (/)
1511, 14mpbid 135 . . . . . . . 8  M  ZZ  M ... M  - 
1  (/)
165sneqd 3380 . . . . . . . 8  M  ZZ  { M  -  1  +  1 }  { M }
1715, 16uneq12d 3092 . . . . . . 7  M  ZZ  M ... M  -  1  u.  { M  -  1  +  1 }  (/)  u.  { M }
18 fzsn 8699 . . . . . . 7  M  ZZ  M ... M  { M }
199, 17, 183eqtr4a 2095 . . . . . 6  M  ZZ  M ... M  -  1  u.  { M  -  1  +  1 }  M ... M
206, 19eqtr4d 2072 . . . . 5  M  ZZ  M ... M  -  1  + 
1  M ... M  -  1  u.  { M  -  1  +  1 }
21 oveq1 5462 . . . . . . 7  N  M  - 
1  N  +  1  M  -  1  + 
1
2221oveq2d 5471 . . . . . 6  N  M  - 
1  M ... N  + 
1  M ... M  -  1  +  1
23 oveq2 5463 . . . . . . 7  N  M  - 
1  M ... N  M ... M  -  1
2421sneqd 3380 . . . . . . 7  N  M  - 
1  { N  +  1 }  { M  -  1  +  1 }
2523, 24uneq12d 3092 . . . . . 6  N  M  - 
1  M ... N  u.  { N  +  1 }  M ... M  - 
1  u. 
{ M  -  1  + 
1 }
2622, 25eqeq12d 2051 . . . . 5  N  M  - 
1  M ... N  +  1  M ... N  u. 
{ N  + 
1 }  M ... M  -  1  +  1  M ... M  -  1  u.  { M  -  1  +  1 }
2720, 26syl5ibrcom 146 . . . 4  M  ZZ  N  M  -  1  M ... N  +  1  M ... N  u. 
{ N  + 
1 }
2827imp 115 . . 3  M  ZZ  N  M  -  1  M ... N  +  1  M ... N  u.  { N  +  1 }
295fveq2d 5125 . . . . . 6  M  ZZ  ZZ>=
`  M  -  1  + 
1  ZZ>= `  M
3029eleq2d 2104 . . . . 5  M  ZZ  N  ZZ>= `  M  -  1  +  1  N 
ZZ>= `  M
3130biimpa 280 . . . 4  M  ZZ  N  ZZ>= `  M  -  1  +  1  N  ZZ>= `  M
32 fzsuc 8701 . . . 4  N  ZZ>= `  M  M ... N  +  1  M ... N  u.  { N  +  1 }
3331, 32syl 14 . . 3  M  ZZ  N  ZZ>= `  M  -  1  +  1  M ... N  + 
1  M ... N  u.  { N  +  1 }
3428, 33jaodan 709 . 2  M  ZZ  N  M  -  1  N 
ZZ>= `  M  -  1  + 
1  M ... N  + 
1  M ... N  u.  { N  +  1 }
351, 34sylan2 270 1  M  ZZ  N  ZZ>= `  M  -  1  M ... N  + 
1  M ... N  u.  { N  +  1 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909   (/)c0 3218   {csn 3367   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   CCcc 6709   1c1 6712    + caddc 6714    < clt 6857    - cmin 6979   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  8726  frecfzennn  8884
  Copyright terms: Public domain W3C validator