Theorem fununi 4881

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fununi	|- (A.f e. A ( Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> Fun U.A)

Distinct variable group:   f,g,A

Proof of Theorem fununi

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 4833	. . . . 5 |- ( Fun f -> Rel f)
2	1	adantr 261	. . . 4 |- (( Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> Rel f)
3	2	ralimi 2353	. . 3 |- (A.f e. A ( Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.f e. A Rel f)
4		reluni 4375	. . 3 |- ( Rel U.A <-> A.f e. A Rel f)
5	3, 4	sylibr 137	. 2 |- (A.f e. A ( Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> Rel U.A)
6		r19.28av 2418	. . . 4 |- (( Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)))
7	6	ralimi 2353	. . 3 |- (A.f e. A ( Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)))
8		ssel 2907	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w C_ v -> ( <.x , y >. e. w -> <.x , y >. e. v))
9	8	anim1d 319	. . . . . . . . . . . 12 |- (w C_ v -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> ( <.x , y >. e. v /\ <.x , z >. e. v)))
10		dffun4 4828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun v <-> ( Rel v /\ A.xA.yA.z(( <.x , y >. e. v /\ <.x , z >. e. v) -> y = z)))
11	10	simprbi 260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun v -> A.xA.yA.z(( <.x , y >. e. v /\ <.x , z >. e. v) -> y = z))
12	11	19.21bbi 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun v -> A.z(( <.x , y >. e. v /\ <.x , z >. e. v) -> y = z))
13	12	19.21bi 1423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun v -> (( <.x , y >. e. v /\ <.x , z >. e. v) -> y = z))
14	9, 13	syl9r 67	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun v -> (w C_ v -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z)))
15	14	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- (( Fun w /\ Fun v) -> (w C_ v -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z)))
16		ssel 2907	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v C_ w -> ( <.x , z >. e. v -> <.x , z >. e. w))
17	16	anim2d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- (v C_ w -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. w)))
18		dffun4 4828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun w <-> ( Rel w /\ A.xA.yA.z(( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. w) -> y = z)))
19	18	simprbi 260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun w -> A.xA.yA.z(( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. w) -> y = z))
20	19	19.21bbi 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun w -> A.z(( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. w) -> y = z))
21	20	19.21bi 1423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun w -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. w) -> y = z))
22	17, 21	syl9r 67	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun w -> (v C_ w -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z)))
23	22	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- (( Fun w /\ Fun v) -> (v C_ w -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z)))
24	15, 23	jaod 621	. . . . . . . . 9 |- (( Fun w /\ Fun v) -> ((w C_ v \/ v C_ w) -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z)))
25	24	imp 115	. . . . . . . 8 |- ((( Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z))
26	25	ralimi 2353	. . . . . . 7 |- (A.v e. A (( Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) -> A.v e. A (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z))
27	26	ralimi 2353	. . . . . 6 |- (A.w e. A A.v e. A (( Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) -> A.w e. A A.v e. A (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z))
28		funeq 4835	. . . . . . . . . 10 |- (f = w -> ( Fun f <-> Fun w))
29		sseq1 2934	. . . . . . . . . . 11 |- (f = w -> (f C_ g <-> w C_ g))
30		sseq2 2935	. . . . . . . . . . 11 |- (f = w -> (g C_ f <-> g C_ w))
31	29, 30	orbi12d 691	. . . . . . . . . 10 |- (f = w -> ((f C_ g \/ g C_ f) <-> (w C_ g \/ g C_ w)))
32	28, 31	anbi12d 442	. . . . . . . . 9 |- (f = w -> (( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> ( Fun w /\ (w C_ g \/ g C_ w))))
33		sseq2 2935	. . . . . . . . . . 11 |- (g = v -> (w C_ g <-> w C_ v))
34		sseq1 2934	. . . . . . . . . . 11 |- (g = v -> (g C_ w <-> v C_ w))
35	33, 34	orbi12d 691	. . . . . . . . . 10 |- (g = v -> ((w C_ g \/ g C_ w) <-> (w C_ v \/ v C_ w)))
36	35	anbi2d 437	. . . . . . . . 9 |- (g = v -> (( Fun w /\ (w C_ g \/ g C_ w)) <-> ( Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
37	32, 36	cbvral2v 2510	. . . . . . . 8 |- (A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.w e. A A.v e. A ( Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
38		ralcom 2442	. . . . . . . . 9 |- (A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.g e. A A.f e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)))
39		orcom 631	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f C_ g \/ g C_ f) <-> (g C_ f \/ f C_ g))
40		sseq1 2934	. . . . . . . . . . . . 13 |- (g = w -> (g C_ f <-> w C_ f))
41		sseq2 2935	. . . . . . . . . . . . 13 |- (g = w -> (f C_ g <-> f C_ w))
42	40, 41	orbi12d 691	. . . . . . . . . . . 12 |- (g = w -> ((g C_ f \/ f C_ g) <-> (w C_ f \/ f C_ w)))
43	39, 42	syl5bb 181	. . . . . . . . . . 11 |- (g = w -> ((f C_ g \/ g C_ f) <-> (w C_ f \/ f C_ w)))
44	43	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 |- (g = w -> (( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> ( Fun f /\ (w C_ f \/ f C_ w))))
45		funeq 4835	. . . . . . . . . . 11 |- (f = v -> ( Fun f <-> Fun v))
46		sseq2 2935	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = v -> (w C_ f <-> w C_ v))
47		sseq1 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = v -> (f C_ w <-> v C_ w))
48	46, 47	orbi12d 691	. . . . . . . . . . 11 |- (f = v -> ((w C_ f \/ f C_ w) <-> (w C_ v \/ v C_ w)))
49	45, 48	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 |- (f = v -> (( Fun f /\ (w C_ f \/ f C_ w)) <-> ( Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
50	44, 49	cbvral2v 2510	. . . . . . . . 9 |- (A.g e. A A.f e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.w e. A A.v e. A ( Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
51	38, 50	bitri 173	. . . . . . . 8 |- (A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.w e. A A.v e. A ( Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
52	37, 51	anbi12i 433	. . . . . . 7 |- ((A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) /\ A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f))) <-> (A.w e. A A.v e. A ( Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ A.w e. A A.v e. A ( Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
53		anidm 376	. . . . . . 7 |- ((A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) /\ A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f))) <-> A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)))
54		anandir 510	. . . . . . . . 9 |- ((( Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) <-> (( Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ ( Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
55	54	2ralbii 2301	. . . . . . . 8 |- (A.w e. A A.v e. A (( Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)) <-> A.w e. A A.v e. A (( Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ ( Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
56		r19.26-2 2411	. . . . . . . 8 |- (A.w e. A A.v e. A (( Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ ( Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))) <-> (A.w e. A A.v e. A ( Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ A.w e. A A.v e. A ( Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))))
57	55, 56	bitr2i 174	. . . . . . 7 |- ((A.w e. A A.v e. A ( Fun w /\ (w C_ v \/ v C_ w)) /\ A.w e. A A.v e. A ( Fun v /\ (w C_ v \/ v C_ w))) <-> A.w e. A A.v e. A (( Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
58	52, 53, 57	3bitr3i 199	. . . . . 6 |- (A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) <-> A.w e. A A.v e. A (( Fun w /\ Fun v) /\ (w C_ v \/ v C_ w)))
59		eluni 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( <.x , y >. e. U.A <-> E.w( <.x , y >. e. w /\ w e. A))
60		eluni 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( <.x , z >. e. U.A <-> E.v( <.x , z >. e. v /\ v e. A))
61	59, 60	anbi12i 433	. . . . . . . . 9 |- (( <.x , y >. e. U.A /\ <.x , z >. e. U.A) <-> (E.w( <.x , y >. e. w /\ w e. A) /\ E.v( <.x , z >. e. v /\ v e. A)))
62		eeanv 1780	. . . . . . . . 9 |- (E.wE.v(( <.x , y >. e. w /\ w e. A) /\ ( <.x , z >. e. v /\ v e. A)) <-> (E.w( <.x , y >. e. w /\ w e. A) /\ E.v( <.x , z >. e. v /\ v e. A)))
63		an4 505	. . . . . . . . . . 11 |- ((( <.x , y >. e. w /\ w e. A) /\ ( <.x , z >. e. v /\ v e. A)) <-> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) /\ (w e. A /\ v e. A)))
64		ancom 253	. . . . . . . . . . 11 |- ((( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) /\ (w e. A /\ v e. A)) <-> ((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)))
65	63, 64	bitri 173	. . . . . . . . . 10 |- ((( <.x , y >. e. w /\ w e. A) /\ ( <.x , z >. e. v /\ v e. A)) <-> ((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)))
66	65	2exbii 1470	. . . . . . . . 9 |- (E.wE.v(( <.x , y >. e. w /\ w e. A) /\ ( <.x , z >. e. v /\ v e. A)) <-> E.wE.v((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)))
67	61, 62, 66	3bitr2i 197	. . . . . . . 8 |- (( <.x , y >. e. U.A /\ <.x , z >. e. U.A) <-> E.wE.v((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)))
68	67	imbi1i 227	. . . . . . 7 |- ((( <.x , y >. e. U.A /\ <.x , z >. e. U.A) -> y = z) <-> (E.wE.v((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z))
69		19.23v 1736	. . . . . . 7 |- (A.w(E.v((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z) <-> (E.wE.v((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z))
70		r2al 2312	. . . . . . . 8 |- (A.w e. A A.v e. A (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z) <-> A.wA.v((w e. A /\ v e. A) -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z)))
71		impexp 250	. . . . . . . . 9 |- ((((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z) <-> ((w e. A /\ v e. A) -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z)))
72	71	2albii 1333	. . . . . . . 8 |- (A.wA.v(((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z) <-> A.wA.v((w e. A /\ v e. A) -> (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z)))
73		19.23v 1736	. . . . . . . . 9 |- (A.v(((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z) <-> (E.v((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z))
74	73	albii 1332	. . . . . . . 8 |- (A.wA.v(((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z) <-> A.w(E.v((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z))
75	70, 72, 74	3bitr2ri 198	. . . . . . 7 |- (A.w(E.v((w e. A /\ v e. A) /\ ( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v)) -> y = z) <-> A.w e. A A.v e. A (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z))
76	68, 69, 75	3bitr2i 197	. . . . . 6 |- ((( <.x , y >. e. U.A /\ <.x , z >. e. U.A) -> y = z) <-> A.w e. A A.v e. A (( <.x , y >. e. w /\ <.x , z >. e. v) -> y = z))
77	27, 58, 76	3imtr4i 190	. . . . 5 |- (A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) -> (( <.x , y >. e. U.A /\ <.x , z >. e. U.A) -> y = z))
78	77	alrimiv 1727	. . . 4 |- (A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.z(( <.x , y >. e. U.A /\ <.x , z >. e. U.A) -> y = z))
79	78	alrimivv 1728	. . 3 |- (A.f e. A A.g e. A ( Fun f /\ (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.xA.yA.z(( <.x , y >. e. U.A /\ <.x , z >. e. U.A) -> y = z))
80	7, 79	syl 14	. 2 |- (A.f e. A ( Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> A.xA.yA.z(( <.x , y >. e. U.A /\ <.x , z >. e. U.A) -> y = z))
81		dffun4 4828	. 2 |- ( Fun U.A <-> ( Rel U.A /\ A.xA.yA.z(( <.x , y >. e. U.A /\ <.x , z >. e. U.A) -> y = z)))
82	5, 80, 81	sylanbrc 394	1 |- (A.f e. A ( Fun f /\ A.g e. A (f C_ g \/ g C_ f)) -> Fun U.A)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 613  A.wal 1221  E.wex 1354   e. wcel 1366  A.wral 2275   C_ wss 2885   <.cop 3342   U.cuni 3543   Rel wrel 4265   Fun wfun 4811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-rex 2281  df-v 2528  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-id 3993  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-fun 4819

This theorem is referenced by:  funcnvuni  4882  fun11uni  4883