ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnvuni Structured version   Unicode version

Theorem funcnvuni 4911
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv 4903 for "single-rooted" definition.) (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
funcnvuni  Fun  `'  C_  C_  Fun  `' U.
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem funcnvuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 4452 . . . . . . . 8  `'  `'
21eqeq2d 2048 . . . . . . 7  `'  `'
32cbvrexv 2528 . . . . . 6  `'  `'
4 cnveq 4452 . . . . . . . . . . 11  `'  `'
54funeqd 4866 . . . . . . . . . 10  Fun  `'  Fun  `'
6 sseq1 2960 . . . . . . . . . . . 12  C_  C_
7 sseq2 2961 . . . . . . . . . . . 12  C_  C_
86, 7orbi12d 706 . . . . . . . . . . 11  C_  C_  C_  C_
98ralbidv 2320 . . . . . . . . . 10  C_  C_  C_  C_
105, 9anbi12d 442 . . . . . . . . 9  Fun  `'  C_  C_  Fun  `'  C_  C_
1110rspcv 2646 . . . . . . . 8  Fun  `'  C_  C_  Fun  `'  C_  C_
12 funeq 4864 . . . . . . . . . 10  `'  Fun  Fun  `'
1312biimprcd 149 . . . . . . . . 9  Fun  `'  `'  Fun
14 sseq2 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15  C_  C_
15 sseq1 2960 . . . . . . . . . . . . . . 15  C_  C_
1614, 15orbi12d 706 . . . . . . . . . . . . . 14  C_  C_  C_  C_
1716rspcv 2646 . . . . . . . . . . . . 13  C_  C_  C_  C_
18 cnvss 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
C_  `'  C_  `'
19 cnvss 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
C_  `'  C_  `'
2018, 19orim12i 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  C_  C_  `'  C_  `'  `'  C_  `'
21 sseq12 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  `'  `'  C_  `' 
C_  `'
2221ancoms 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  `'  `'  C_  `' 
C_  `'
23 sseq12 2962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  `'  `'  C_  `'  C_  `'
2422, 23orbi12d 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  `'  `'  C_  C_  `'  C_  `'  `'  C_  `'
2520, 24syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . . . . . 14  C_  C_  `'  `'  C_  C_
2625expd 245 . . . . . . . . . . . . 13  C_  C_  `'  `'  C_  C_
2717, 26syl6com 31 . . . . . . . . . . . 12  C_  C_  `'  `'  C_  C_
2827rexlimdv 2426 . . . . . . . . . . 11  C_  C_  `'  `'  C_  C_
2928com23 72 . . . . . . . . . 10  C_  C_  `'  `'  C_  C_
3029alrimdv 1753 . . . . . . . . 9  C_  C_  `'  `'  C_  C_
3113, 30anim12ii 325 . . . . . . . 8  Fun  `'  C_  C_  `'  Fun  `'  C_  C_
3211, 31syl6com 31 . . . . . . 7  Fun  `'  C_  C_  `'  Fun  `'  C_  C_
3332rexlimdv 2426 . . . . . 6  Fun  `'  C_  C_  `'  Fun  `'  C_  C_
343, 33syl5bi 141 . . . . 5  Fun  `'  C_  C_  `'  Fun  `'  C_  C_
3534alrimiv 1751 . . . 4  Fun  `'  C_  C_  `'  Fun  `'  C_  C_
36 df-ral 2305 . . . . 5  {  |  `' }  Fun  {  |  `' }  C_  C_  {  |  `' }  Fun  {  |  `' } 
C_  C_
37 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
38 eqeq1 2043 . . . . . . . . 9  `'  `'
3938rexbidv 2321 . . . . . . . 8  `'  `'
4037, 39elab 2681 . . . . . . 7  {  |  `' }  `'
41 eqeq1 2043 . . . . . . . . . 10  `'  `'
4241rexbidv 2321 . . . . . . . . 9  `'  `'
4342ralab 2695 . . . . . . . 8  {  |  `' }  C_  C_  `'  C_  C_
4443anbi2i 430 . . . . . . 7  Fun  {  |  `' }  C_  C_  Fun  `'  C_  C_
4540, 44imbi12i 228 . . . . . 6  {  |  `' }  Fun  {  |  `' } 
C_  C_  `'  Fun  `'  C_  C_
4645albii 1356 . . . . 5  {  |  `' }  Fun  {  |  `' } 
C_  C_  `'  Fun  `'  C_  C_
4736, 46bitr2i 174 . . . 4  `'  Fun  `'  C_  C_ 
{  |  `' }  Fun  {  |  `' } 
C_  C_
4835, 47sylib 127 . . 3  Fun  `'  C_  C_  {  |  `' }  Fun  {  |  `' } 
C_  C_
49 fununi 4910 . . 3  {  |  `' }  Fun  {  |  `' }  C_  C_  Fun  U. {  |  `' }
5048, 49syl 14 . 2  Fun  `'  C_  C_  Fun  U. {  |  `' }
51 cnvuni 4464 . . . 4  `' U.  U_  `'
52 vex 2554 . . . . . 6 
_V
5352cnvex 4799 . . . . 5  `'  _V
5453dfiun2 3682 . . . 4  U_  `' 
U. {  |  `' }
5551, 54eqtri 2057 . . 3  `' U.  U. {  |  `' }
5655funeqi 4865 . 2  Fun  `' U.  Fun  U. {  |  `' }
5750, 56sylibr 137 1  Fun  `'  C_  C_  Fun  `' U.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301    C_ wss 2911   U.cuni 3571   U_ciun 3648   `'ccnv 4287   Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  fun11uni  4912
  Copyright terms: Public domain W3C validator