Theorem fun11 4966

Description: Two ways of stating that A is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un₂ (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fun11	|- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, A

Proof of Theorem fun11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfbi2 368	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z <-> y = w ) <-> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) )
2	1	imbi2i 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
3		pm4.76 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
4		bi2.04 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) <-> ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
5		bi2.04 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) <-> ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) )
6	4, 5	anbi12i 433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
7	2, 3, 6	3bitr2i 197	. . . . . 6 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
8	7	2albii 1360	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
9		19.26-2 1371	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
10		alcom 1367	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
11		nfv 1421	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w )
12		breq1 3767	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x A y <-> z A y ) )
13	12	anbi1d 438	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( z A y /\ z A w ) ) )
14	13	imbi1d 220	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
15	11, 14	equsal 1615	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
16	15	albii 1359	. . . . . . 7 |- ( A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
17	10, 16	bitri 173	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
18		nfv 1421	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z )
19		breq2 3768	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
20	19	anbi1d 438	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( x A w /\ z A w ) ) )
21	20	imbi1d 220	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
22	18, 21	equsal 1615	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
23	22	albii 1359	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
24	17, 23	anbi12i 433	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
25	8, 9, 24	3bitri 195	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
26	25	2albii 1360	. . 3 |- ( A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
27		19.26-2 1371	. . 3 |- ( A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
28	26, 27	bitr2i 174	. 2 |- ( ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
29		fun2cnv 4963	. . . 4 |- ( Fun `' `' A <-> A. z E* y z A y )
30		breq2 3768	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z A y <-> z A w ) )
31	30	mo4 1961	. . . . 5 |- ( E* y z A y <-> A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
32	31	albii 1359	. . . 4 |- ( A. z E* y z A y <-> A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
33		alcom 1367	. . . . 5 |- ( A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
34	33	albii 1359	. . . 4 |- ( A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
35	29, 32, 34	3bitri 195	. . 3 |- ( Fun `' `' A <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
36		funcnv2 4959	. . . 4 |- ( Fun `' A <-> A. w E* x x A w )
37		breq1 3767	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x A w <-> z A w ) )
38	37	mo4 1961	. . . . 5 |- ( E* x x A w <-> A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
39	38	albii 1359	. . . 4 |- ( A. w E* x x A w <-> A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
40		alcom 1367	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
41	40	albii 1359	. . . . 5 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
42		alcom 1367	. . . . 5 |- ( A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
43	41, 42	bitri 173	. . . 4 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
44	36, 39, 43	3bitri 195	. . 3 |- ( Fun `' A <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
45	35, 44	anbi12i 433	. 2 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
46		alrot4 1375	. 2 |- ( A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
47	28, 45, 46	3bitr4i 201	1 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   E*wmo 1901   class class class wbr 3764   `'ccnv 4344   Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-fun 4904

This theorem is referenced by: (None)