Theorem fununi 4910

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fununi	⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ∪ A)

Distinct variable group:   f,g,A

Proof of Theorem fununi

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 4862	. . . . 5 ⊢ (Fun f → Rel f)
2	1	adantr 261	. . . 4 ⊢ ((Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Rel f)
3	2	ralimi 2378	. . 3 ⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀f ∈ A Rel f)
4		reluni 4403	. . 3 ⊢ (Rel ∪ A ↔ ∀f ∈ A Rel f)
5	3, 4	sylibr 137	. 2 ⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Rel ∪ A)
6		r19.28av 2443	. . . 4 ⊢ ((Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)))
7	6	ralimi 2378	. . 3 ⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)))
8		ssel 2933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ⊆ v → (⟨x, y⟩ ∈ w → ⟨x, y⟩ ∈ v))
9	8	anim1d 319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ⊆ v → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → (⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
10		dffun4 4856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Fun v ↔ (Rel v ∧ ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
11	10	simprbi 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun v → ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
12	11	19.21bbi 1448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun v → ∀z((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
13	12	19.21bi 1447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun v → ((⟨x, y⟩ ∈ v ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
14	9, 13	syl9r 67	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun v → (w ⊆ v → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
15	14	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun w ∧ Fun v) → (w ⊆ v → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
16		ssel 2933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v ⊆ w → (⟨x, z⟩ ∈ v → ⟨x, z⟩ ∈ w))
17	16	anim2d 320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v ⊆ w → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w)))
18		dffun4 4856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Fun w ↔ (Rel w ∧ ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z)))
19	18	simprbi 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun w → ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z))
20	19	19.21bbi 1448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun w → ∀z((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z))
21	20	19.21bi 1447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun w → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ w) → y = z))
22	17, 21	syl9r 67	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun w → (v ⊆ w → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
23	22	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun w ∧ Fun v) → (v ⊆ w → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
24	15, 23	jaod 636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun w ∧ Fun v) → ((w ⊆ v ∨ v ⊆ w) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
25	24	imp 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
26	25	ralimi 2378	. . . . . . 7 ⊢ (∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) → ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
27	26	ralimi 2378	. . . . . 6 ⊢ (∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) → ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
28		funeq 4864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = w → (Fun f ↔ Fun w))
29		sseq1 2960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = w → (f ⊆ g ↔ w ⊆ g))
30		sseq2 2961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = w → (g ⊆ f ↔ g ⊆ w))
31	29, 30	orbi12d 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = w → ((f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ (w ⊆ g ∨ g ⊆ w)))
32	28, 31	anbi12d 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (f = w → ((Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ (Fun w ∧ (w ⊆ g ∨ g ⊆ w))))
33		sseq2 2961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (g = v → (w ⊆ g ↔ w ⊆ v))
34		sseq1 2960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (g = v → (g ⊆ w ↔ v ⊆ w))
35	33, 34	orbi12d 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (g = v → ((w ⊆ g ∨ g ⊆ w) ↔ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
36	35	anbi2d 437	. . . . . . . . 9 ⊢ (g = v → ((Fun w ∧ (w ⊆ g ∨ g ⊆ w)) ↔ (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
37	32, 36	cbvral2v 2535	. . . . . . . 8 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
38		ralcom 2467	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀g ∈ A ∀f ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)))
39		orcom 646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ (g ⊆ f ∨ f ⊆ g))
40		sseq1 2960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (g = w → (g ⊆ f ↔ w ⊆ f))
41		sseq2 2961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (g = w → (f ⊆ g ↔ f ⊆ w))
42	40, 41	orbi12d 706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (g = w → ((g ⊆ f ∨ f ⊆ g) ↔ (w ⊆ f ∨ f ⊆ w)))
43	39, 42	syl5bb 181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (g = w → ((f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ (w ⊆ f ∨ f ⊆ w)))
44	43	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (g = w → ((Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ (Fun f ∧ (w ⊆ f ∨ f ⊆ w))))
45		funeq 4864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = v → (Fun f ↔ Fun v))
46		sseq2 2961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (f = v → (w ⊆ f ↔ w ⊆ v))
47		sseq1 2960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (f = v → (f ⊆ w ↔ v ⊆ w))
48	46, 47	orbi12d 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = v → ((w ⊆ f ∨ f ⊆ w) ↔ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
49	45, 48	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = v → ((Fun f ∧ (w ⊆ f ∨ f ⊆ w)) ↔ (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
50	44, 49	cbvral2v 2535	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀g ∈ A ∀f ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
51	38, 50	bitri 173	. . . . . . . 8 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
52	37, 51	anbi12i 433	. . . . . . 7 ⊢ ((∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ∧ ∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f))) ↔ (∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
53		anidm 376	. . . . . . 7 ⊢ ((∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ∧ ∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f))) ↔ ∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)))
54		anandir 525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ↔ ((Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
55	54	2ralbii 2326	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
56		r19.26-2 2436	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))) ↔ (∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))))
57	55, 56	bitr2i 174	. . . . . . 7 ⊢ ((∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun w ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)) ∧ ∀w ∈ A ∀v ∈ A (Fun v ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w))) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
58	52, 53, 57	3bitr3i 199	. . . . . 6 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((Fun w ∧ Fun v) ∧ (w ⊆ v ∨ v ⊆ w)))
59		eluni 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ↔ ∃w(⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A))
60		eluni 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨x, z⟩ ∈ ∪ A ↔ ∃v(⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A))
61	59, 60	anbi12i 433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪ A) ↔ (∃w(⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ ∃v(⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)))
62		eeanv 1804	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w∃v((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ (⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)) ↔ (∃w(⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ ∃v(⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)))
63		an4 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ (⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)) ↔ ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) ∧ (w ∈ A ∧ v ∈ A)))
64		ancom 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) ∧ (w ∈ A ∧ v ∈ A)) ↔ ((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
65	63, 64	bitri 173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ (⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)) ↔ ((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
66	65	2exbii 1494	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w∃v((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ w ∈ A) ∧ (⟨x, z⟩ ∈ v ∧ v ∈ A)) ↔ ∃w∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
67	61, 62, 66	3bitr2i 197	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪ A) ↔ ∃w∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)))
68	67	imbi1i 227	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪ A) → y = z) ↔ (∃w∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z))
69		19.23v 1760	. . . . . . 7 ⊢ (∀w(∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ (∃w∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z))
70		r2al 2337	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ A ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z) ↔ ∀w∀v((w ∈ A ∧ v ∈ A) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
71		impexp 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ ((w ∈ A ∧ v ∈ A) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
72	71	2albii 1357	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w∀v(((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ ∀w∀v((w ∈ A ∧ v ∈ A) → ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z)))
73		19.23v 1760	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀v(((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ (∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z))
74	73	albii 1356	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w∀v(((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ ∀w(∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z))
75	70, 72, 74	3bitr2ri 198	. . . . . . 7 ⊢ (∀w(∃v((w ∈ A ∧ v ∈ A) ∧ (⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v)) → y = z) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
76	68, 69, 75	3bitr2i 197	. . . . . 6 ⊢ (((⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪ A) → y = z) ↔ ∀w ∈ A ∀v ∈ A ((⟨x, y⟩ ∈ w ∧ ⟨x, z⟩ ∈ v) → y = z))
77	27, 58, 76	3imtr4i 190	. . . . 5 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ((⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪ A) → y = z))
78	77	alrimiv 1751	. . . 4 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀z((⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪ A) → y = z))
79	78	alrimivv 1752	. . 3 ⊢ (∀f ∈ A ∀g ∈ A (Fun f ∧ (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪ A) → y = z))
80	7, 79	syl 14	. 2 ⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪ A) → y = z))
81		dffun4 4856	. 2 ⊢ (Fun ∪ A ↔ (Rel ∪ A ∧ ∀x∀y∀z((⟨x, y⟩ ∈ ∪ A ∧ ⟨x, z⟩ ∈ ∪ A) → y = z)))
82	5, 80, 81	sylanbrc 394	1 ⊢ (∀f ∈ A (Fun f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ∪ A)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628  ∀wal 1240  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300   ⊆ wss 2911  ⟨cop 3370  ∪ cuni 3571  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-fun 4847

This theorem is referenced by:  funcnvuni  4911  fun11uni  4912