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Theorem fmptco 5330
 Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. If has the equation ( x + 2 ) and the equation ( 3 * z ) then has the equation ( 3 * ( x + 2 ) ) . (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptco.1
fmptco.2
fmptco.3
fmptco.4
Assertion
Ref Expression
fmptco
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem fmptco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 4819 . 2
2 funmpt 4938 . . 3
3 funrel 4919 . . 3
42, 3ax-mp 7 . 2
5 fmptco.1 . . . . . . . . . . . . 13
6 eqid 2040 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6fmptd 5322 . . . . . . . . . . . 12
8 fmptco.2 . . . . . . . . . . . . 13
98feq1d 5034 . . . . . . . . . . . 12
107, 9mpbird 156 . . . . . . . . . . 11
11 ffun 5048 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . 10
13 funbrfv 5212 . . . . . . . . . . 11
1413imp 115 . . . . . . . . . 10
1512, 14sylan 267 . . . . . . . . 9
1615eqcomd 2045 . . . . . . . 8
1716a1d 22 . . . . . . 7
1817expimpd 345 . . . . . 6
1918pm4.71rd 374 . . . . 5
2019exbidv 1706 . . . 4
21 exsimpl 1508 . . . . . . 7
22 isset 2561 . . . . . . 7
2321, 22sylibr 137 . . . . . 6
2423a1i 9 . . . . 5
2512adantr 261 . . . . . . . 8
26 fdm 5050 . . . . . . . . . . 11
2710, 26syl 14 . . . . . . . . . 10
2827eleq2d 2107 . . . . . . . . 9
2928biimpar 281 . . . . . . . 8
30 funfvex 5192 . . . . . . . 8
3125, 29, 30syl2anc 391 . . . . . . 7
3231adantrr 448 . . . . . 6
3332ex 108 . . . . 5
34 breq2 3768 . . . . . . . . 9
35 breq1 3767 . . . . . . . . 9
3634, 35anbi12d 442 . . . . . . . 8
3736ceqsexgv 2673 . . . . . . 7
38 funfvbrb 5280 . . . . . . . . . . 11
3912, 38syl 14 . . . . . . . . . 10
4039, 28bitr3d 179 . . . . . . . . 9
418fveq1d 5180 . . . . . . . . . 10
42 fmptco.3 . . . . . . . . . 10
43 eqidd 2041 . . . . . . . . . 10
4441, 42, 43breq123d 3778 . . . . . . . . 9
4540, 44anbi12d 442 . . . . . . . 8
46 nfcv 2178 . . . . . . . . . . 11
47 nfv 1421 . . . . . . . . . . . 12
48 nffvmpt1 5186 . . . . . . . . . . . . . 14
49 nfcv 2178 . . . . . . . . . . . . . 14
50 nfcv 2178 . . . . . . . . . . . . . 14
5148, 49, 50nfbr 3808 . . . . . . . . . . . . 13
52 nfcsb1v 2882 . . . . . . . . . . . . . 14
5352nfeq2 2189 . . . . . . . . . . . . 13
5451, 53nfbi 1481 . . . . . . . . . . . 12
5547, 54nfim 1464 . . . . . . . . . . 11
56 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . 14
5756breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . 13
58 csbeq1a 2860 . . . . . . . . . . . . . 14
5958eqeq2d 2051 . . . . . . . . . . . . 13
6057, 59bibi12d 224 . . . . . . . . . . . 12
6160imbi2d 219 . . . . . . . . . . 11
62 vex 2560 . . . . . . . . . . . . . 14
63 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 fmptco.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6865, 67eqeq12d 2054 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6964, 68anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 df-mpt 3820 . . . . . . . . . . . . . . 15
7169, 70brabga 4001 . . . . . . . . . . . . . 14
725, 62, 71sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13
73 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15
746fvmpt2 5254 . . . . . . . . . . . . . . 15
7573, 5, 74syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14
7675breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . 13
775biantrurd 289 . . . . . . . . . . . . 13
7872, 76, 773bitr4d 209 . . . . . . . . . . . 12
7978expcom 109 . . . . . . . . . . 11
8046, 55, 61, 79vtoclgaf 2618 . . . . . . . . . 10
8180impcom 116 . . . . . . . . 9
8281pm5.32da 425 . . . . . . . 8
8345, 82bitrd 177 . . . . . . 7
8437, 83sylan9bbr 436 . . . . . 6
8584ex 108 . . . . 5
8624, 33, 85pm5.21ndd 621 . . . 4
8720, 86bitrd 177 . . 3
88 vex 2560 . . . 4
8988, 62opelco 4507 . . 3
90 df-mpt 3820 . . . . 5
9190eleq2i 2104 . . . 4
92 nfv 1421 . . . . . 6
9352nfeq2 2189 . . . . . 6
9492, 93nfan 1457 . . . . 5
95 nfv 1421 . . . . 5
96 eleq1 2100 . . . . . 6
9758eqeq2d 2051 . . . . . 6
9896, 97anbi12d 442 . . . . 5
99 eqeq1 2046 . . . . . 6
10099anbi2d 437 . . . . 5
10194, 95, 88, 62, 98, 100opelopabf 4011 . . . 4
10291, 101bitri 173 . . 3
10387, 89, 1023bitr4g 212 . 2
1041, 4, 103eqrelrdv 4436 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1243  wex 1381   wcel 1393  cvv 2557  csb 2852  cop 3378   class class class wbr 3764  copab 3817   cmpt 3818   cdm 4345   ccom 4349   wrel 4350   wfun 4896  wf 4898  cfv 4902 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910 This theorem is referenced by:  fmptcof  5331  fcompt  5333  fcoconst  5334  ofco  5729
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