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Theorem fmptco 5273
Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. If  F has the equation ( x + 2 ) and  G the equation ( 3 * z ) then  G  o.  F has the equation ( 3 * ( x + 2 ) ) . (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptco.1  R
fmptco.2  F  |->  R
fmptco.3  G  |->  S
fmptco.4  R  S  T
Assertion
Ref Expression
fmptco  G  o.  F  |->  T
Distinct variable groups:   ,   ,,   , R   ,   , S   , T
Allowed substitution hints:   ()   ()    R()    S()    T()    F(,)    G(,)

Proof of Theorem fmptco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 4762 . 2  Rel  G  o.  F
2 funmpt 4881 . . 3  Fun  |->  T
3 funrel 4862 . . 3  Fun  |->  T  Rel  |->  T
42, 3ax-mp 7 . 2  Rel  |->  T
5 fmptco.1 . . . . . . . . . . . . 13  R
6 eqid 2037 . . . . . . . . . . . . 13  |->  R  |->  R
75, 6fmptd 5265 . . . . . . . . . . . 12  |->  R : -->
8 fmptco.2 . . . . . . . . . . . . 13  F  |->  R
98feq1d 4977 . . . . . . . . . . . 12  F : -->  |->  R : -->
107, 9mpbird 156 . . . . . . . . . . 11  F : -->
11 ffun 4991 . . . . . . . . . . 11  F : -->  Fun 
F
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . 10  Fun  F
13 funbrfv 5155 . . . . . . . . . . 11  Fun 
F  F  F `
1413imp 115 . . . . . . . . . 10  Fun  F  F  F `
1512, 14sylan 267 . . . . . . . . 9  F  F `
1615eqcomd 2042 . . . . . . . 8  F  F `
1716a1d 22 . . . . . . 7  F  G  F `
1817expimpd 345 . . . . . 6  F  G  F `
1918pm4.71rd 374 . . . . 5  F  G  F `  F  G
2019exbidv 1703 . . . 4  F  G  F `  F  G
21 exsimpl 1505 . . . . . . 7  F `  F  G  F `
22 isset 2555 . . . . . . 7  F `  _V  F `
2321, 22sylibr 137 . . . . . 6  F `  F  G  F `

_V
2423a1i 9 . . . . 5  F `
 F  G  F `  _V
2512adantr 261 . . . . . . . 8  Fun  F
26 fdm 4993 . . . . . . . . . . 11  F : -->  dom 
F
2710, 26syl 14 . . . . . . . . . 10  dom  F
2827eleq2d 2104 . . . . . . . . 9  dom  F
2928biimpar 281 . . . . . . . 8  dom  F
30 funfvex 5135 . . . . . . . 8  Fun  F  dom  F  F `  _V
3125, 29, 30syl2anc 391 . . . . . . 7  F `  _V
3231adantrr 448 . . . . . 6 
[_  ]_ T  F `  _V
3332ex 108 . . . . 5 
[_  ]_ T  F `  _V
34 breq2 3759 . . . . . . . . 9  F `  F  F F `
35 breq1 3758 . . . . . . . . 9  F `  G  F `
 G
3634, 35anbi12d 442 . . . . . . . 8  F `  F  G  F F `  F `  G
3736ceqsexgv 2667 . . . . . . 7  F `  _V  F `  F  G  F F `  F `  G
38 funfvbrb 5223 . . . . . . . . . . 11  Fun 
F  dom  F  F F `
3912, 38syl 14 . . . . . . . . . 10  dom  F  F F `
4039, 28bitr3d 179 . . . . . . . . 9  F F `
418fveq1d 5123 . . . . . . . . . 10  F `  |->  R `
42 fmptco.3 . . . . . . . . . 10  G  |->  S
43 eqidd 2038 . . . . . . . . . 10
4441, 42, 43breq123d 3769 . . . . . . . . 9  F `  G  |->  R `  |->  S
4540, 44anbi12d 442 . . . . . . . 8  F F `  F `  G  |->  R `  |->  S
46 nfcv 2175 . . . . . . . . . . 11  F/_
47 nfv 1418 . . . . . . . . . . . 12  F/
48 nffvmpt1 5129 . . . . . . . . . . . . . 14  F/_  |->  R `
49 nfcv 2175 . . . . . . . . . . . . . 14  F/_  |->  S
50 nfcv 2175 . . . . . . . . . . . . . 14  F/_
5148, 49, 50nfbr 3799 . . . . . . . . . . . . 13  F/  |->  R `  |->  S
52 nfcsb1v 2876 . . . . . . . . . . . . . 14  F/_ [_  ]_ T
5352nfeq2 2186 . . . . . . . . . . . . 13  F/  [_  ]_ T
5451, 53nfbi 1478 . . . . . . . . . . . 12  F/  |->  R `  |->  S  [_  ]_ T
5547, 54nfim 1461 . . . . . . . . . . 11  F/  |->  R `  |->  S 
[_  ]_ T
56 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . 14  |->  R `  |->  R `
5756breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . 13  |->  R `  |->  S  |->  R `  |->  S
58 csbeq1a 2854 . . . . . . . . . . . . . 14  T  [_  ]_ T
5958eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . . 13  T 
[_  ]_ T
6057, 59bibi12d 224 . . . . . . . . . . . 12  |->  R `  |->  S  T  |->  R `
 |->  S 
[_  ]_ T
6160imbi2d 219 . . . . . . . . . . 11  |->  R `  |->  S  T  |->  R `
 |->  S 
[_  ]_ T
62 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 
_V
63 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  R  R
6463eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  R  R
65 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  R
66 fmptco.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  R  S  T
6766adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  R  S  T
6865, 67eqeq12d 2051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  R  S  T
6964, 68anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  R  S  R  T
70 df-mpt 3811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |->  S  { <. ,  >.  |  S }
7169, 70brabga 3992 . . . . . . . . . . . . . 14  R  _V  R  |->  S  R  T
725, 62, 71sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13  R  |->  S  R  T
73 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15
746fvmpt2 5197 . . . . . . . . . . . . . . 15  R  |->  R `  R
7573, 5, 74syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14  |->  R `
 R
7675breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . 13  |->  R `  |->  S  R  |->  S
775biantrurd 289 . . . . . . . . . . . . 13  T  R  T
7872, 76, 773bitr4d 209 . . . . . . . . . . . 12  |->  R `  |->  S  T
7978expcom 109 . . . . . . . . . . 11  |->  R `  |->  S  T
8046, 55, 61, 79vtoclgaf 2612 . . . . . . . . . 10  |->  R `  |->  S 
[_  ]_ T
8180impcom 116 . . . . . . . . 9  |->  R `  |->  S 
[_  ]_ T
8281pm5.32da 425 . . . . . . . 8  |->  R `  |->  S  [_  ]_ T
8345, 82bitrd 177 . . . . . . 7  F F `  F `  G  [_  ]_ T
8437, 83sylan9bbr 436 . . . . . 6  F `  _V  F `  F  G 
[_  ]_ T
8584ex 108 . . . . 5  F `  _V  F `
 F  G  [_  ]_ T
8624, 33, 85pm5.21ndd 620 . . . 4  F `
 F  G  [_  ]_ T
8720, 86bitrd 177 . . 3  F  G  [_  ]_ T
88 vex 2554 . . . 4 
_V
8988, 62opelco 4450 . . 3  <. ,  >.  G  o.  F  F  G
90 df-mpt 3811 . . . . 5  |->  T  { <. ,  >.  |  T }
9190eleq2i 2101 . . . 4  <. ,  >.  |->  T  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  T }
92 nfv 1418 . . . . . 6  F/
9352nfeq2 2186 . . . . . 6  F/  [_  ]_ T
9492, 93nfan 1454 . . . . 5  F/  [_  ]_ T
95 nfv 1418 . . . . 5  F/  [_  ]_ T
96 eleq1 2097 . . . . . 6
9758eqeq2d 2048 . . . . . 6  T 
[_  ]_ T
9896, 97anbi12d 442 . . . . 5  T  [_  ]_ T
99 eqeq1 2043 . . . . . 6  [_  ]_ T 
[_  ]_ T
10099anbi2d 437 . . . . 5  [_  ]_ T  [_  ]_ T
10194, 95, 88, 62, 98, 100opelopabf 4002 . . . 4  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  T } 
[_  ]_ T
10291, 101bitri 173 . . 3  <. ,  >.  |->  T 
[_  ]_ T
10387, 89, 1023bitr4g 212 . 2  <. ,  >.  G  o.  F  <. ,  >.  |->  T
1041, 4, 103eqrelrdv 4379 1  G  o.  F  |->  T
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   [_csb 2846   <.cop 3370   class class class wbr 3755   {copab 3808    |-> cmpt 3809   dom cdm 4288    o. ccom 4292   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839   -->wf 4841   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  fmptcof  5274  fcompt  5276  fcoconst  5277  ofco  5671
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