ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ofco Unicode version

Theorem ofco 5671
Description: The composition of a function operation with another function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ofco.1  F  Fn
ofco.2  G  Fn
ofco.3  H : D --> C
ofco.4  V
ofco.5  W
ofco.6  D  X
ofco.7  i^i  C
Assertion
Ref Expression
ofco  F  o F R G  o.  H  F  o.  H  o F R G  o.  H

Proof of Theorem ofco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofco.3 . . . 4  H : D --> C
21ffvelrnda 5245 . . 3  D  H `  C
31feqmptd 5169 . . 3  H  D  |->  H `
4 ofco.1 . . . 4  F  Fn
5 ofco.2 . . . 4  G  Fn
6 ofco.4 . . . 4  V
7 ofco.5 . . . 4  W
8 ofco.7 . . . 4  i^i  C
9 eqidd 2038 . . . 4  F `  F `
10 eqidd 2038 . . . 4  G `  G `
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10offval 5661 . . 3  F  o F R G  C  |->  F `  R G `
12 fveq2 5121 . . . 4  H `  F `  F `  H `
13 fveq2 5121 . . . 4  H `  G `  G `  H `
1412, 13oveq12d 5473 . . 3  H `  F `  R G `  F `  H `  R G `  H `
152, 3, 11, 14fmptco 5273 . 2  F  o F R G  o.  H  D  |->  F `  H `  R G `  H `
16 inss1 3151 . . . . . 6  i^i  C_
178, 16eqsstr3i 2970 . . . . 5  C  C_
18 fss 4997 . . . . 5  H : D --> C  C  C_ 
H : D -->
191, 17, 18sylancl 392 . . . 4  H : D -->
20 fnfco 5008 . . . 4  F  Fn  H : D -->  F  o.  H  Fn  D
214, 19, 20syl2anc 391 . . 3  F  o.  H  Fn  D
22 inss2 3152 . . . . . 6  i^i  C_
238, 22eqsstr3i 2970 . . . . 5  C  C_
24 fss 4997 . . . . 5  H : D --> C  C  C_ 
H : D -->
251, 23, 24sylancl 392 . . . 4  H : D -->
26 fnfco 5008 . . . 4  G  Fn  H : D -->  G  o.  H  Fn  D
275, 25, 26syl2anc 391 . . 3  G  o.  H  Fn  D
28 ofco.6 . . 3  D  X
29 inidm 3140 . . 3  D  i^i  D  D
30 ffn 4989 . . . . 5  H : D --> C 
H  Fn  D
311, 30syl 14 . . . 4  H  Fn  D
32 fvco2 5185 . . . 4  H  Fn  D  D  F  o.  H `  F `  H `
3331, 32sylan 267 . . 3  D  F  o.  H `  F `  H `
34 fvco2 5185 . . . 4  H  Fn  D  D  G  o.  H `  G `  H `
3531, 34sylan 267 . . 3  D  G  o.  H `  G `  H `
3621, 27, 28, 28, 29, 33, 35offval 5661 . 2  F  o.  H  o F R G  o.  H  D  |->  F `  H `  R G `
 H `
3715, 36eqtr4d 2072 1  F  o F R G  o.  H  F  o.  H  o F R G  o.  H
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390    i^i cin 2910    C_ wss 2911    |-> cmpt 3809    o. ccom 4292    Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    o Fcof 5652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-of 5654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator