Theorem f1oresrab 5329

Description: Build a bijection between restricted abstract builders, given a bijection between the base classes, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1oresrab.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1oresrab.2	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
f1oresrab.3	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
f1oresrab	|- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   ph, x, y   ps, y   ch, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   C( x)   F( x, y)

Proof of Theorem f1oresrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oresrab.2	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofun 5128	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
3		funcnvcnv 4958	. . . 4 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun `' `' F )
5		f1ocnv 5139	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> `' F : B -1-1-onto-> A )
7		f1of1 5125	. . . . . 6 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
9		ssrab2 3025	. . . . 5 |- { y e. B | ch } C_ B
10		f1ores 5141	. . . . 5 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ { y e. B | ch } C_ B ) -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
11	8, 9, 10	sylancl 392	. . . 4 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
12		f1oresrab.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. A |-> C )
13	12	mptpreima 4814	. . . . . 6 |- ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | C e. { y e. B | ch } }
14		f1oresrab.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )
15	14	3expia 1106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
16	15	alrimiv 1754	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
17		f1of 5126	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> B )
19	12	fmpt 5319	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
20	18, 19	sylibr 137	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A C e. B )
21	20	r19.21bi 2407	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
22		elrab3t 2697	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) /\ C e. B ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
23	16, 21, 22	syl2anc 391	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
24	23	rabbidva 2548	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | C e. { y e. B | ch } } = { x e. A | ps } )
25	13, 24	syl5eq 2084	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } )
26		f1oeq3 5119	. . . . 5 |- ( ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
27	25, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
28	11, 27	mpbid 135	. . 3 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } )
29		f1orescnv 5142	. . 3 |- ( ( Fun `' `' F /\ ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
30	4, 28, 29	syl2anc 391	. 2 |- ( ph -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
31		rescnvcnv 4783	. . 3 |- ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } )
32		f1oeq1 5117	. . 3 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } ) -> ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } ) )
33	31, 32	ax-mp 7	. 2 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
34	30, 33	sylib 127	1 |- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   {crab 2310   C_ wss 2917   |-> cmpt 3818   `'ccnv 4344   |` cres 4347   "cima 4348   Fun wfun 4896   -->wf 4898   -1-1->wf1 4899   -1-1-onto->wf1o 4901

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910

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