ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oresrab Unicode version

Theorem f1oresrab 5272
Description: Build a bijection between restricted abstract builders, given a bijection between the base classes, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
f1oresrab.1  F  |->  C
f1oresrab.2  F : -1-1-onto->
f1oresrab.3  C
Assertion
Ref Expression
f1oresrab  F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , C   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()    C()    F(,)

Proof of Theorem f1oresrab
StepHypRef Expression
1 f1oresrab.2 . . . 4  F : -1-1-onto->
2 f1ofun 5071 . . . 4  F : -1-1-onto->  Fun  F
3 funcnvcnv 4901 . . . 4  Fun 
F  Fun  `' `' F
41, 2, 33syl 17 . . 3  Fun  `' `' F
5 f1ocnv 5082 . . . . . . 7  F : -1-1-onto->  `' F : -1-1-onto->
61, 5syl 14 . . . . . 6  `' F : -1-1-onto->
7 f1of1 5068 . . . . . 6  `' F : -1-1-onto->  `' F : -1-1->
86, 7syl 14 . . . . 5  `' F : -1-1->
9 ssrab2 3019 . . . . 5  {  |  }  C_
10 f1ores 5084 . . . . 5  `' F : -1-1->  {  |  }  C_  `' F  |` 
{  |  } : {  |  } -1-1-onto-> `' F " {  |  }
118, 9, 10sylancl 392 . . . 4  `' F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> `' F " {  |  }
12 f1oresrab.1 . . . . . . 7  F  |->  C
1312mptpreima 4757 . . . . . 6  `' F " {  |  }  {  |  C  {  |  } }
14 f1oresrab.3 . . . . . . . . . 10  C
15143expia 1105 . . . . . . . . 9  C
1615alrimiv 1751 . . . . . . . 8  C
17 f1of 5069 . . . . . . . . . . 11  F : -1-1-onto->  F :
-->
181, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  F : -->
1912fmpt 5262 . . . . . . . . . 10  C  F : -->
2018, 19sylibr 137 . . . . . . . . 9  C
2120r19.21bi 2401 . . . . . . . 8  C
22 elrab3t 2691 . . . . . . . 8  C  C  C  {  |  }
2316, 21, 22syl2anc 391 . . . . . . 7  C 
{  |  }
2423rabbidva 2542 . . . . . 6  {  |  C  {  |  } }  {  |  }
2513, 24syl5eq 2081 . . . . 5  `' F " {  |  }  {  |  }
26 f1oeq3 5062 . . . . 5  `' F " {  |  }  {  |  }  `' F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> `' F " {  |  }  `' F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }
2725, 26syl 14 . . . 4  `' F  |` 
{  |  } : {  |  } -1-1-onto-> `' F " {  |  }  `' F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }
2811, 27mpbid 135 . . 3  `' F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }
29 f1orescnv 5085 . . 3  Fun  `' `' F  `' F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }  `' `' F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }
304, 28, 29syl2anc 391 . 2  `' `' F  |` 
{  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }
31 rescnvcnv 4726 . . 3  `' `' F  |`  {  |  }  F  |` 
{  |  }
32 f1oeq1 5060 . . 3  `' `' F  |`  {  |  }  F  |` 
{  |  }  `' `' F  |` 
{  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }  F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }
3331, 32ax-mp 7 . 2  `' `' F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }  F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }
3430, 33sylib 127 1  F  |`  {  |  } : {  |  } -1-1-onto-> {  |  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   {crab 2304    C_ wss 2911    |-> cmpt 3809   `'ccnv 4287    |` cres 4290   "cima 4291   Fun wfun 4839   -->wf 4841   -1-1->wf1 4842   -1-1-onto->wf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator