Theorem eqrelrdv 4436

Description: Deduce equality of relations from equivalence of membership. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqrelrdv.1	|- Rel A
eqrelrdv.2	|- Rel B
eqrelrdv.3	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv	|- ( ph -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv.3	. . 3 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1755	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
3		eqrelrdv.1	. . 3 |- Rel A
4		eqrelrdv.2	. . 3 |- Rel B
5		eqrel 4429	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 402	. 2 |- ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
7	2, 6	sylibr 137	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   Rel wrel 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352

This theorem is referenced by:  eqbrrdiv  4438  fcnvres  5073  fmptco  5330