ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxp4 Structured version   Unicode version

Theorem elxp4 4751
Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 4752. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
elxp4  X.  C  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  U. ran  { }  C

Proof of Theorem elxp4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2  X.  C  _V
2 elex 2560 . . . 4  U. dom  { }  U. dom  { }  _V
3 elex 2560 . . . 4  U. ran  { }  C  U. ran  { }  _V
42, 3anim12i 321 . . 3 
U. dom  { }  U.
ran  { }  C  U. dom  { }  _V  U. ran  { }  _V
5 opexgOLD 3956 . . . . 5 
U. dom  { }  _V  U. ran  { }  _V  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >. 
_V
65adantl 262 . . . 4  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  _V 
U. ran  { }  _V  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  _V
7 eleq1 2097 . . . . 5  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  _V  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >. 
_V
87adantr 261 . . . 4  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  _V 
U. ran  { }  _V  _V 
<. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  _V
96, 8mpbird 156 . . 3  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  _V 
U. ran  { }  _V  _V
104, 9sylan2 270 . 2  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  U. ran  { }  C  _V
11 elxp 4305 . . . 4  X.  C  <. ,  >.  C
1211a1i 9 . . 3  _V  X.  C  <. ,  >.  C
13 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . 13  <. , 
>.  { }  { <. , 
>. }
1413rneqd 4506 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>.  ran  { }  ran  { <. ,  >. }
1514unieqd 3582 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  U. ran  { }  U. ran  { <. , 
>. }
16 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
17 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
1816, 17op2nda 4748 . . . . . . . . . . 11  U. ran  {
<. ,  >. }
1915, 18syl6req 2086 . . . . . . . . . 10  <. , 
>.  U. ran  { }
2019pm4.71ri 372 . . . . . . . . 9  <. , 
>.  U. ran  { }  <. ,  >.
2120anbi1i 431 . . . . . . . 8  <. ,  >.  C 
U. ran  { }  <. ,  >.  C
22 anass 381 . . . . . . . 8  U. ran  { }  <. ,  >.  C  U. ran  { }  <. ,  >.  C
2321, 22bitri 173 . . . . . . 7  <. ,  >.  C  U. ran  { }  <. ,  >.  C
2423exbii 1493 . . . . . 6  <. ,  >.  C  U. ran  { }  <. ,  >.  C
25 snexgOLD 3926 . . . . . . . . 9  _V  { }  _V
26 rnexg 4540 . . . . . . . . 9  { }  _V  ran  { }  _V
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8  _V  ran  { }  _V
28 uniexg 4141 . . . . . . . 8  ran 
{ }  _V  U. ran  { }  _V
2927, 28syl 14 . . . . . . 7  _V  U. ran  { }  _V
30 opeq2 3541 . . . . . . . . . 10  U. ran  { }  <. ,  >.  <. ,  U. ran  { } >.
3130eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9  U. ran  { }  <. ,  >.  <. ,  U. ran  { } >.
32 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10  U. ran  { }  C  U. ran  { }  C
3332anbi2d 437 . . . . . . . . 9  U. ran  { }  C  U. ran  { }  C
3431, 33anbi12d 442 . . . . . . . 8  U. ran  { }  <. ,  >.  C  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C
3534ceqsexgv 2667 . . . . . . 7  U. ran  { }  _V  U. ran  { }  <. ,  >.  C  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
3629, 35syl 14 . . . . . 6  _V 
U. ran  { }  <. ,  >.  C  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
3724, 36syl5bb 181 . . . . 5  _V  <. ,  >.  C  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
38 sneq 3378 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  U. ran  { } >.  { }  { <. ,  U. ran  { } >. }
3938dmeqd 4480 . . . . . . . . . . 11  <. ,  U. ran  { } >. 
dom  { }  dom  { <. ,  U. ran  { } >. }
4039unieqd 3582 . . . . . . . . . 10  <. ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  U. dom  { <. ,  U. ran  { } >. }
4140adantl 262 . . . . . . . . 9  _V  <. ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  U. dom  { <. ,  U. ran  { } >. }
42 dmsnopg 4735 . . . . . . . . . . . . 13  U. ran  { }  _V  dom  { <. ,  U. ran  { } >. }  { }
4329, 42syl 14 . . . . . . . . . . . 12  _V  dom  {
<. ,  U. ran  { } >. }  { }
4443unieqd 3582 . . . . . . . . . . 11  _V  U. dom  { <. ,  U. ran  { } >. }  U. { }
4516unisn 3587 . . . . . . . . . . 11  U. { }
4644, 45syl6eq 2085 . . . . . . . . . 10  _V  U. dom  { <. ,  U. ran  { } >. }
4746adantr 261 . . . . . . . . 9  _V  <. ,  U. ran  { } >.  U. dom  {
<. ,  U. ran  { } >. }
4841, 47eqtr2d 2070 . . . . . . . 8  _V  <. ,  U. ran  { } >. 
U. dom  { }
4948ex 108 . . . . . . 7  _V  <. ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }
5049pm4.71rd 374 . . . . . 6  _V  <. ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.
5150anbi1d 438 . . . . 5  _V  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
52 anass 381 . . . . . 6  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
5352a1i 9 . . . . 5  _V  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
5437, 51, 533bitrd 203 . . . 4  _V  <. ,  >.  C  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C
5554exbidv 1703 . . 3  _V  <. ,  >.  C  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U. ran  { }  C
56 dmexg 4539 . . . . . 6  { }  _V  dom  { }  _V
5725, 56syl 14 . . . . 5  _V  dom  { }  _V
58 uniexg 4141 . . . . 5  dom 
{ }  _V  U. dom  { }  _V
5957, 58syl 14 . . . 4  _V  U. dom  { }  _V
60 opeq1 3540 . . . . . . 7  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.
6160eqeq2d 2048 . . . . . 6  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.
62 eleq1 2097 . . . . . . 7  U. dom  { }  U. dom  { }
6362anbi1d 438 . . . . . 6  U. dom  { }  U. ran  { }  C  U. dom  { }  U.
ran  { }  C
6461, 63anbi12d 442 . . . . 5  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  U. ran  { }  C
6564ceqsexgv 2667 . . . 4  U. dom  { }  _V  U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  <. U.
dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  U. ran  { }  C
6659, 65syl 14 . . 3  _V 
U. dom  { }  <. ,  U. ran  { } >.  U.
ran  { }  C  <. U.
dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  U. ran  { }  C
6712, 55, 663bitrd 203 . 2  _V  X.  C  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  U. ran  { }  C
681, 10, 67pm5.21nii 619 1  X.  C  <. U. dom  { } ,  U. ran  { } >.  U. dom  { }  U. ran  { }  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571    X. cxp 4286   dom cdm 4288   ran crn 4289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299
This theorem is referenced by:  elxp6  5738  xpdom2  6241
  Copyright terms: Public domain W3C validator