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Theorem elxp4 4795
Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 4796. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
elxp4  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )

Proof of Theorem elxp4
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2563 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  e.  _V )
2 elex 2563 . . . 4  |-  ( U. dom  { A }  e.  B  ->  U. dom  { A }  e.  _V )
3 elex 2563 . . . 4  |-  ( U. ran  { A }  e.  C  ->  U. ran  { A }  e.  _V )
42, 3anim12i 321 . . 3  |-  ( ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C )  ->  ( U. dom  { A }  e.  _V  /\  U. ran  { A }  e.  _V ) )
5 opexgOLD 3962 . . . . 5  |-  ( ( U. dom  { A }  e.  _V  /\  U. ran  { A }  e.  _V )  ->  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  e. 
_V )
65adantl 262 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  _V  /\ 
U. ran  { A }  e.  _V )
)  ->  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  e. 
_V )
7 eleq1 2100 . . . . 5  |-  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  ->  ( A  e.  _V  <->  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  e. 
_V ) )
87adantr 261 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  _V  /\ 
U. ran  { A }  e.  _V )
)  ->  ( A  e.  _V  <->  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  e.  _V ) )
96, 8mpbird 156 . . 3  |-  ( ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  _V  /\ 
U. ran  { A }  e.  _V )
)  ->  A  e.  _V )
104, 9sylan2 270 . 2  |-  ( ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
)  ->  A  e.  _V )
11 elxp 4349 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
1211a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
13 sneq 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  { A }  =  { <. x ,  y
>. } )
1413rneqd 4550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ran  { A }  =  ran  { <. x ,  y >. } )
1514unieqd 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  U. ran  { A }  =  U. ran  { <. x ,  y >. } )
16 vex 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
17 vex 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1816, 17op2nda 4792 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  {
<. x ,  y >. }  =  y
1915, 18syl6req 2089 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  y  =  U. ran  { A } )
2019pm4.71ri 372 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  ( y  =  U. ran  { A }  /\  A  =  <. x ,  y >. ) )
2120anbi1i 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( ( y  =  U. ran  { A }  /\  A  = 
<. x ,  y >.
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
22 anass 381 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  =  U. ran  { A }  /\  A  =  <. x ,  y >. )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( y  = 
U. ran  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
2321, 22bitri 173 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( y  = 
U. ran  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
2423exbii 1496 . . . . . 6  |-  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( y  =  U. ran  { A }  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) ) )
25 snexgOLD 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
26 rnexg 4584 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  e.  _V  ->  ran  { A }  e.  _V )
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ran  { A }  e.  _V )
28 uniexg 4171 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
{ A }  e.  _V  ->  U. ran  { A }  e.  _V )
2927, 28syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  U. ran  { A }  e.  _V )
30 opeq2 3547 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  U. ran  { A } >. )
3130eqeq2d 2051 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  A  =  <. x ,  U. ran  { A } >. ) )
32 eleq1 2100 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( y  e.  C  <->  U. ran  { A }  e.  C
) )
3332anbi2d 437 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) )
3431, 33anbi12d 442 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) )
3534ceqsexgv 2670 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  { A }  e.  _V  ->  ( E. y
( y  =  U. ran  { A }  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) )  <->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
3629, 35syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. y ( y  = 
U. ran  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )  <->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
3724, 36syl5bb 181 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
38 sneq 3383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  { A }  =  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
3938dmeqd 4524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  dom  { A }  =  dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
4039unieqd 3588 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  U. dom  { A }  =  U. dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
4140adantl 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. )  ->  U. dom  { A }  =  U. dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
42 dmsnopg 4779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ran  { A }  e.  _V  ->  dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. }  =  {
x } )
4329, 42syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  {
<. x ,  U. ran  { A } >. }  =  { x } )
4443unieqd 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  U. dom  {
<. x ,  U. ran  { A } >. }  =  U. { x } )
4516unisn 3593 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
x }  =  x
4644, 45syl6eq 2088 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  U. dom  {
<. x ,  U. ran  { A } >. }  =  x )
4746adantr 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. )  ->  U. dom  {
<. x ,  U. ran  { A } >. }  =  x )
4841, 47eqtr2d 2073 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. )  ->  x  =  U. dom  { A } )
4948ex 108 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  =  <. x , 
U. ran  { A } >.  ->  x  =  U. dom  { A }
) )
5049pm4.71rd 374 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. 
<->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. ) ) )
5150anbi1d 438 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) )  <->  ( (
x  =  U. dom  { A }  /\  A  =  <. x ,  U. ran  { A } >. )  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) )
52 anass 381 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  U. dom  { A }  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. )  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) )  <->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) )
5352a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( ( x  = 
U. dom  { A }  /\  A  =  <. x ,  U. ran  { A } >. )  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) )  <->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) ) )
5437, 51, 533bitrd 203 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) ) )
5554exbidv 1706 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. x E. y ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. x ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  =  <. x , 
U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) ) )
56 dmexg 4583 . . . . . 6  |-  ( { A }  e.  _V  ->  dom  { A }  e.  _V )
5725, 56syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  { A }  e.  _V )
58 uniexg 4171 . . . . 5  |-  ( dom 
{ A }  e.  _V  ->  U. dom  { A }  e.  _V )
5957, 58syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  U. dom  { A }  e.  _V )
60 opeq1 3546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  <. x ,  U. ran  { A } >.  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >. )
6160eqeq2d 2051 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  <->  A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >. ) )
62 eleq1 2100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( x  e.  B  <->  U. dom  { A }  e.  B
) )
6362anbi1d 438 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( ( x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C )  <->  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )
6461, 63anbi12d 442 . . . . 5  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) )
6564ceqsexgv 2670 . . . 4  |-  ( U. dom  { A }  e.  _V  ->  ( E. x
( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) )  <-> 
( A  =  <. U.
dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
6659, 65syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. x ( x  = 
U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) )  <-> 
( A  =  <. U.
dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
6712, 55, 663bitrd 203 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) )
681, 10, 67pm5.21nii 620 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   _Vcvv 2554   {csn 3372   <.cop 3375   U.cuni 3577    X. cxp 4330   dom cdm 4332   ran crn 4333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-dm 4342  df-rn 4343
This theorem is referenced by:  elxp6  5783  xpdom2  6292
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