Theorem dmexg 4596

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	|- ( A e. V -> dom A e. _V )

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4175	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4175	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun1 3106	. . . 4 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4595	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 2954	. . 3 |- dom A C_ U. U. A
6		ssexg 3896	. . 3 |- ( ( dom A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> dom A e. _V )
7	5, 6	mpan 400	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> dom A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> dom A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   u. cun 2915   C_ wss 2917   U.cuni 3580   dom cdm 4345   ran crn 4346

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356

This theorem is referenced by:  dmex  4598  iprc  4600  exse2  4699  xpexr2m  4762  elxp4  4808  cnvexg  4855  coexg  4862  dmfex  5079  cofunexg  5738  offval3  5761  1stvalg  5769  tposexg  5873  erexb  6131  shftfvalg  9419