Theorem dmsnopg 4735

Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnopg	|- (B e. V -> dom { <.A , B >. } = {A })

Proof of Theorem dmsnopg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2554	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2554	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opth1 3964	. . . . 5 |- ( <.x , y >. = <.A , B >. -> x = A)
4	3	exlimiv 1486	. . . 4 |- (E.y <.x , y >. = <.A , B >. -> x = A)
5		opeq1 3540	. . . . 5 |- (x = A -> <.x , B >. = <.A , B >.)
6		opeq2 3541	. . . . . . 7 |- (y = B -> <.x , y >. = <.x , B >.)
7	6	eqeq1d 2045	. . . . . 6 |- (y = B -> ( <.x , y >. = <.A , B >. <-> <.x , B >. = <.A , B >.))
8	7	spcegv 2635	. . . . 5 |- (B e. V -> ( <.x , B >. = <.A , B >. -> E.y <.x , y >. = <.A , B >.))
9	5, 8	syl5 28	. . . 4 |- (B e. V -> (x = A -> E.y <.x , y >. = <.A , B >.))
10	4, 9	impbid2 131	. . 3 |- (B e. V -> (E.y <.x , y >. = <.A , B >. <-> x = A))
11	1	eldm2 4476	. . . 4 |- (x e. dom { <.A , B >. } <-> E.y <.x , y >. e. { <.A , B >. })
12	1, 2	opex 3957	. . . . . 6 |- <.x , y >. e. _V
13	12	elsnc 3390	. . . . 5 |- ( <.x , y >. e. { <.A , B >. } <-> <.x , y >. = <.A , B >.)
14	13	exbii 1493	. . . 4 |- (E.y <.x , y >. e. { <.A , B >. } <-> E.y <.x , y >. = <.A , B >.)
15	11, 14	bitri 173	. . 3 |- (x e. dom { <.A , B >. } <-> E.y <.x , y >. = <.A , B >.)
16		elsn 3382	. . 3 |- (x e. {A } <-> x = A)
17	10, 15, 16	3bitr4g 212	. 2 |- (B e. V -> (x e. dom { <.A , B >. } <-> x e. {A }))
18	17	eqrdv 2035	1 |- (B e. V -> dom { <.A , B >. } = {A })

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   {csn 3367   <.cop 3370   dom cdm 4288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-dm 4298

This theorem is referenced by:  dmpropg  4736  dmsnop  4737  rnsnopg  4742  elxp4  4751  fnsng  4890  funprg  4892  funtpg  4893  fntpg  4898