Theorem dmsnopg 4792

Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnopg	|- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Proof of Theorem dmsnopg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2560	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2560	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opth1 3973	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
4	3	exlimiv 1489	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
5		opeq1 3549	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , B >. = <. A , B >. )
6		opeq2 3550	. . . . . . 7 |- ( y = B -> <. x , y >. = <. x , B >. )
7	6	eqeq1d 2048	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> <. x , B >. = <. A , B >. ) )
8	7	spcegv 2641	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( <. x , B >. = <. A , B >. -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
9	5, 8	syl5 28	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x = A -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
10	4, 9	impbid2 131	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. <-> x = A ) )
11	1	eldm2 4533	. . . 4 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
12	1, 2	opex 3966	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3391	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
14	13	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
15	11, 14	bitri 173	. . 3 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
16		velsn 3392	. . 3 |- ( x e. { A } <-> x = A )
17	10, 15, 16	3bitr4g 212	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. dom { <. A , B >. } <-> x e. { A } ) )
18	17	eqrdv 2038	1 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {csn 3375   <.cop 3378   dom cdm 4345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-dm 4355

This theorem is referenced by:  dmpropg  4793  dmsnop  4794  rnsnopg  4799  elxp4  4808  fnsng  4947  funprg  4949  funtpg  4950  fntpg  4955