ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsnopg Unicode version

Theorem dmsnopg 4735
Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmsnopg  V  dom  {
<. ,  >. }  { }

Proof of Theorem dmsnopg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2554 . . . . . 6 
_V
2 vex 2554 . . . . . 6 
_V
31, 2opth1 3964 . . . . 5  <. ,  >.  <. ,  >.
43exlimiv 1486 . . . 4  <. , 
>.  <. ,  >.
5 opeq1 3540 . . . . 5  <. ,  >.  <. ,  >.
6 opeq2 3541 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.
76eqeq1d 2045 . . . . . 6  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.
87spcegv 2635 . . . . 5  V  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.
95, 8syl5 28 . . . 4  V  <. , 
>.  <. ,  >.
104, 9impbid2 131 . . 3  V  <. , 
>.  <. ,  >.
111eldm2 4476 . . . 4  dom  { <. ,  >. }  <. ,  >. 
{ <. ,  >. }
121, 2opex 3957 . . . . . 6  <. ,  >.  _V
1312elsnc 3390 . . . . 5  <. ,  >.  { <. ,  >. } 
<. ,  >. 
<. ,  >.
1413exbii 1493 . . . 4  <. , 
>.  { <. ,  >. }  <. ,  >. 
<. ,  >.
1511, 14bitri 173 . . 3  dom  { <. ,  >. }  <. ,  >. 
<. ,  >.
16 elsn 3382 . . 3  { }
1710, 15, 163bitr4g 212 . 2  V  dom  { <. ,  >. } 
{ }
1817eqrdv 2035 1  V  dom  {
<. ,  >. }  { }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {csn 3367   <.cop 3370   dom cdm 4288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-dm 4298
This theorem is referenced by:  dmpropg  4736  dmsnop  4737  rnsnopg  4742  elxp4  4751  fnsng  4890  funprg  4892  funtpg  4893  fntpg  4898
  Copyright terms: Public domain W3C validator