Theorem dmpropg 4793

Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmpropg	|- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Proof of Theorem dmpropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmsnopg 4792	. . 3 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )
2		dmsnopg 4792	. . 3 |- ( D e. W -> dom { <. C , D >. } = { C } )
3		uneq12 3092	. . 3 |- ( ( dom { <. A , B >. } = { A } /\ dom { <. C , D >. } = { C } ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
4	1, 2, 3	syl2an 273	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
5		df-pr 3382	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
6	5	dmeqi 4536	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
7		dmun 4542	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
8	6, 7	eqtri 2060	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
9		df-pr 3382	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
10	4, 8, 9	3eqtr4g 2097	1 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   u. cun 2915   {csn 3375   {cpr 3376   <.cop 3378   dom cdm 4345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-dm 4355

This theorem is referenced by:  dmprop  4795  funtpg  4950  fnprg  4954