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Theorem funtpg 4893
Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
funtpg  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  Fun  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }

Proof of Theorem funtpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 900 . . . 4  X  U  Y  V  Z  W  X  U  Y  V
2 3simpa 900 . . . 4  F  G  C  H  F  G
3 simp1 903 . . . 4  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  X  =/=  Y
4 funprg 4892 . . . 4  X  U  Y  V  F  G  X  =/=  Y  Fun  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }
51, 2, 3, 4syl3an 1176 . . 3  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  Fun  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }
6 simp13 935 . . . 4  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  Z  W
7 simp23 938 . . . 4  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  C  H
8 funsng 4889 . . . 4  Z  W  C  H  Fun  { <. Z ,  C >. }
96, 7, 8syl2anc 391 . . 3  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  Fun  { <. Z ,  C >. }
1023ad2ant2 925 . . . . . 6  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  F  G
11 dmpropg 4736 . . . . . 6  F  G  dom  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  { X ,  Y }
1210, 11syl 14 . . . . 5  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  { X ,  Y }
13 dmsnopg 4735 . . . . . 6  C  H  dom  {
<. Z ,  C >. }  { Z }
147, 13syl 14 . . . . 5  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. Z ,  C >. }  { Z }
1512, 14ineq12d 3133 . . . 4  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  i^i  dom  { <. Z ,  C >. }  { X ,  Y }  i^i  { Z }
16 elpri 3387 . . . . . . . 8  Z  { X ,  Y }  Z  X  Z  Y
17 nner 2207 . . . . . . . . . . . 12  X  Z  X  =/=  Z
1817eqcoms 2040 . . . . . . . . . . 11  Z  X  X  =/=  Z
19 3mix2 1073 . . . . . . . . . . 11  X  =/=  Z  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . 10  Z  X  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z
21 nner 2207 . . . . . . . . . . . 12  Y  Z  Y  =/=  Z
2221eqcoms 2040 . . . . . . . . . . 11  Z  Y  Y  =/=  Z
23 3mix3 1074 . . . . . . . . . . 11  Y  =/=  Z  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . 10  Z  Y  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z
2520, 24jaoi 635 . . . . . . . . 9  Z  X  Z  Y  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z
26 3ianorr 1203 . . . . . . . . 9  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/= 
Z
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8  Z  X  Z  Y  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z
2816, 27syl 14 . . . . . . 7  Z  { X ,  Y }  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/= 
Z
2928con2i 557 . . . . . 6  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  Z  { X ,  Y }
30 disjsn 3423 . . . . . 6  { X ,  Y }  i^i  { Z }  (/)  Z  { X ,  Y }
3129, 30sylibr 137 . . . . 5  X  =/=  Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  { X ,  Y }  i^i  { Z }  (/)
32313ad2ant3 926 . . . 4  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  { X ,  Y }  i^i  { Z }  (/)
3315, 32eqtrd 2069 . . 3  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  i^i  dom  { <. Z ,  C >. }  (/)
34 funun 4887 . . 3  Fun  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  Fun  { <. Z ,  C >. }  dom  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  i^i  dom  { <. Z ,  C >. }  (/) 
Fun  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  u.  {
<. Z ,  C >. }
355, 9, 33, 34syl21anc 1133 . 2  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  Fun  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  u.  { <. Z ,  C >. }
36 df-tp 3375 . . 3  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  u.  { <. Z ,  C >. }
3736funeqi 4865 . 2  Fun 
{ <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  Fun  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  u.  { <. Z ,  C >. }
3835, 37sylibr 137 1  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  Fun  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wo 628   w3o 883   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201    u. cun 2909    i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   {ctp 3369   <.cop 3370   dom cdm 4288   Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  fntpg  4898
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