ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funprg Structured version   Unicode version

Theorem funprg 4892
Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
funprg  V  W  C  X  D  Y  =/=  Fun  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }

Proof of Theorem funprg
StepHypRef Expression
1 simp1l 927 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  V
2 simp2l 929 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  C  X
3 funsng 4889 . . . 4  V  C  X  Fun  { <. ,  C >. }
41, 2, 3syl2anc 391 . . 3  V  W  C  X  D  Y  =/=  Fun  { <. ,  C >. }
5 simp1r 928 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  W
6 simp2r 930 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  D  Y
7 funsng 4889 . . . 4  W  D  Y  Fun  { <. ,  D >. }
85, 6, 7syl2anc 391 . . 3  V  W  C  X  D  Y  =/=  Fun  { <. ,  D >. }
9 dmsnopg 4735 . . . . . 6  C  X  dom  {
<. ,  C >. }  { }
102, 9syl 14 . . . . 5  V  W  C  X  D  Y  =/=  dom  { <. ,  C >. }  { }
11 dmsnopg 4735 . . . . . 6  D  Y  dom  {
<. ,  D >. }  { }
126, 11syl 14 . . . . 5  V  W  C  X  D  Y  =/=  dom  { <. ,  D >. }  { }
1310, 12ineq12d 3133 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  dom  { <. ,  C >. }  i^i  dom  { <. ,  D >. }  { }  i^i  { }
14 disjsn2 3424 . . . . 5  =/=  { }  i^i  { }  (/)
15143ad2ant3 926 . . . 4  V  W  C  X  D  Y  =/=  { }  i^i  { }  (/)
1613, 15eqtrd 2069 . . 3  V  W  C  X  D  Y  =/=  dom  { <. ,  C >. }  i^i  dom  { <. ,  D >. }  (/)
17 funun 4887 . . 3  Fun  { <. ,  C >. }  Fun  { <. ,  D >. }  dom  { <. ,  C >. }  i^i  dom  { <. ,  D >. }  (/) 
Fun  { <. ,  C >. }  u.  {
<. ,  D >. }
184, 8, 16, 17syl21anc 1133 . 2  V  W  C  X  D  Y  =/=  Fun  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
19 df-pr 3374 . . 3  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
2019funeqi 4865 . 2  Fun 
{ <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  Fun  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
2118, 20sylibr 137 1  V  W  C  X  D  Y  =/=  Fun  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201    u. cun 2909    i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370   dom cdm 4288   Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  funtpg  4893  funpr  4894  fnprg  4897
  Copyright terms: Public domain W3C validator