ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funtpg Structured version   GIF version

Theorem funtpg 4893
Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
funtpg (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Proof of Theorem funtpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 900 . . . 4 ((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑈 𝑌 𝑉))
2 3simpa 900 . . . 4 ((A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) → (A 𝐹 B 𝐺))
3 simp1 903 . . . 4 ((𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
4 funprg 4892 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉) (A 𝐹 B 𝐺) 𝑋𝑌) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩})
51, 2, 3, 4syl3an 1176 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩})
6 simp13 935 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → 𝑍 𝑊)
7 simp23 938 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → 𝐶 𝐻)
8 funsng 4889 . . . 4 ((𝑍 𝑊 𝐶 𝐻) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
96, 7, 8syl2anc 391 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
1023ad2ant2 925 . . . . . 6 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → (A 𝐹 B 𝐺))
11 dmpropg 4736 . . . . . 6 ((A 𝐹 B 𝐺) → dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌})
1210, 11syl 14 . . . . 5 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌})
13 dmsnopg 4735 . . . . . 6 (𝐶 𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
147, 13syl 14 . . . . 5 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
1512, 14ineq12d 3133 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}))
16 elpri 3387 . . . . . . . 8 (𝑍 {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋 𝑍 = 𝑌))
17 nner 2207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = 𝑍 → ¬ 𝑋𝑍)
1817eqcoms 2040 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝑍)
19 3mix2 1073 . . . . . . . . . . 11 𝑋𝑍 → (¬ 𝑋𝑌 ¬ 𝑋𝑍 ¬ 𝑌𝑍))
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = 𝑋 → (¬ 𝑋𝑌 ¬ 𝑋𝑍 ¬ 𝑌𝑍))
21 nner 2207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 𝑍 → ¬ 𝑌𝑍)
2221eqcoms 2040 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑌 → ¬ 𝑌𝑍)
23 3mix3 1074 . . . . . . . . . . 11 𝑌𝑍 → (¬ 𝑋𝑌 ¬ 𝑋𝑍 ¬ 𝑌𝑍))
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = 𝑌 → (¬ 𝑋𝑌 ¬ 𝑋𝑍 ¬ 𝑌𝑍))
2520, 24jaoi 635 . . . . . . . . 9 ((𝑍 = 𝑋 𝑍 = 𝑌) → (¬ 𝑋𝑌 ¬ 𝑋𝑍 ¬ 𝑌𝑍))
26 3ianorr 1203 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑋𝑌 ¬ 𝑋𝑍 ¬ 𝑌𝑍) → ¬ (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍))
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑍 = 𝑋 𝑍 = 𝑌) → ¬ (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍))
2816, 27syl 14 . . . . . . 7 (𝑍 {𝑋, 𝑌} → ¬ (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍))
2928con2i 557 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
30 disjsn 3423 . . . . . 6 (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 {𝑋, 𝑌})
3129, 30sylibr 137 . . . . 5 ((𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
32313ad2ant3 926 . . . 4 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
3315, 32eqtrd 2069 . . 3 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅)
34 funun 4887 . . 3 (((Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩}) (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
355, 9, 33, 34syl21anc 1133 . 2 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → Fun ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
36 df-tp 3375 . . 3 {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
3736funeqi 4865 . 2 (Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ↔ Fun ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
3835, 37sylibr 137 1 (((𝑋 𝑈 𝑌 𝑉 𝑍 𝑊) (A 𝐹 B 𝐺 𝐶 𝐻) (𝑋𝑌 𝑋𝑍 𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   wo 628   w3o 883   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  cun 2909  cin 2910  c0 3218  {csn 3367  {cpr 3368  {ctp 3369  cop 3370  dom cdm 4288  Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  fntpg  4898
  Copyright terms: Public domain W3C validator