ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funtpg GIF version

Theorem funtpg 4950
Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
funtpg (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Proof of Theorem funtpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 901 . . . 4 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → (𝑋𝑈𝑌𝑉))
2 3simpa 901 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) → (𝐴𝐹𝐵𝐺))
3 simp1 904 . . . 4 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
4 funprg 4949 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺) ∧ 𝑋𝑌) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
51, 2, 3, 4syl3an 1177 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
6 simp13 936 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑊)
7 simp23 939 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐶𝐻)
8 funsng 4946 . . . 4 ((𝑍𝑊𝐶𝐻) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
96, 7, 8syl2anc 391 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
1023ad2ant2 926 . . . . . 6 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐴𝐹𝐵𝐺))
11 dmpropg 4793 . . . . . 6 ((𝐴𝐹𝐵𝐺) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌})
1210, 11syl 14 . . . . 5 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌})
13 dmsnopg 4792 . . . . . 6 (𝐶𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
147, 13syl 14 . . . . 5 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
1512, 14ineq12d 3139 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}))
16 elpri 3398 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌))
17 nner 2210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = 𝑍 → ¬ 𝑋𝑍)
1817eqcoms 2043 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝑍)
19 3mix2 1074 . . . . . . . . . . 11 𝑋𝑍 → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = 𝑋 → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
21 nner 2210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 𝑍 → ¬ 𝑌𝑍)
2221eqcoms 2043 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑌 → ¬ 𝑌𝑍)
23 3mix3 1075 . . . . . . . . . . 11 𝑌𝑍 → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = 𝑌 → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
2520, 24jaoi 636 . . . . . . . . 9 ((𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌) → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
26 3ianorr 1204 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍) → ¬ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌) → ¬ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
2816, 27syl 14 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → ¬ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
2928con2i 557 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
30 disjsn 3432 . . . . . 6 (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
3129, 30sylibr 137 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
32313ad2ant3 927 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
3315, 32eqtrd 2072 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅)
34 funun 4944 . . 3 (((Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∧ Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩}) ∧ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
355, 9, 33, 34syl21anc 1134 . 2 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
36 df-tp 3383 . . 3 {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
3736funeqi 4922 . 2 (Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ↔ Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
3835, 37sylibr 137 1 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wo 629  w3o 884  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  wne 2204  cun 2915  cin 2916  c0 3224  {csn 3375  {cpr 3376  {ctp 3377  cop 3378  dom cdm 4345  Fun wfun 4896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-fun 4904
This theorem is referenced by:  fntpg  4955
  Copyright terms: Public domain W3C validator