Theorem funtpg 4876

Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funtpg	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Proof of Theorem funtpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 889	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
2		3simpa 889	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺))
3		simp1 892	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		funprg 4875	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩})
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1163	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩})
6		simp13 924	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		simp23 927	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐶 ∈ 𝐻)
8		funsng 4872	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
9	6, 7, 8	syl2anc 393	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
10	2	3ad2ant2 914	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺))
11		dmpropg 4720	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺) → dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌})
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} = {𝑋, 𝑌})
13		dmsnopg 4719	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
15	12, 14	ineq12d 3116	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}))
16		elpri 3370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌))
17		nner 2192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ¬ 𝑋 ≠ 𝑍)
18	17	eqcoms 2025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑋 → ¬ 𝑋 ≠ 𝑍)
19		3mix2 1062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑋 → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
21		nner 2192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → ¬ 𝑌 ≠ 𝑍)
22	21	eqcoms 2025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑌 → ¬ 𝑌 ≠ 𝑍)
23		3mix3 1063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑌 ≠ 𝑍 → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑌 → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
25	20, 24	jaoi 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌) → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
26		3ianorr 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌) → ¬ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
28	16, 27	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → ¬ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
29	28	con2i 545	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
30		disjsn 3406	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
31	29, 30	sylibr 137	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
32	31	3ad2ant3 915	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
33	15, 32	eqtrd 2054	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅)
34		funun 4870	. . 3 ⊢ (((Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∧ Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩}) ∧ (dom {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
35	5, 9, 33, 34	syl21anc 1120	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
36		df-tp 3358	. . 3 ⊢ {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
37	36	funeqi 4848	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ↔ Fun ({⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
38	35, 37	sylibr 137	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, A⟩, ⟨𝑌, B⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 616   ∨ w3o 872   ∧ w3a 873   = wceq 1228   ∈ wcel 1374   ≠ wne 2186   ∪ cun 2892   ∩ cin 2893  ∅c0 3201  {csn 3350  {cpr 3351  {ctp 3352  ⟨cop 3353  dom cdm 4272  Fun wfun 4823

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-tp 3358  df-op 3359  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-fun 4831

This theorem is referenced by:  fntpg  4881