ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funun Unicode version

Theorem funun 4887
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/) 
Fun  F  u.  G

Proof of Theorem funun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 4862 . . . . 5  Fun 
F  Rel  F
2 funrel 4862 . . . . 5  Fun 
G  Rel  G
31, 2anim12i 321 . . . 4  Fun  F  Fun  G  Rel 
F  Rel  G
4 relun 4397 . . . 4  Rel  F  u.  G  Rel  F  Rel  G
53, 4sylibr 137 . . 3  Fun  F  Fun  G  Rel  F  u.  G
65adantr 261 . 2  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/) 
Rel  F  u.  G
7 elun 3078 . . . . . . . 8  <. ,  >.  F  u.  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G
8 elun 3078 . . . . . . . 8  <. ,  >.  F  u.  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G
97, 8anbi12i 433 . . . . . . 7 
<. ,  >.  F  u.  G  <. , 
>.  F  u.  G 
<. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G
10 anddi 733 . . . . . . 7  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F  <. , 
>.  F  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G
119, 10bitri 173 . . . . . 6 
<. ,  >.  F  u.  G  <. , 
>.  F  u.  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  F  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. ,  >.  G  <. , 
>.  F  <. , 
>.  G  <. ,  >.  G
12 disj1 3264 . . . . . . . . . . . . 13  dom  F  i^i  dom  G  (/)  dom  F  dom  G
1312biimpi 113 . . . . . . . . . . . 12  dom  F  i^i  dom  G  (/)  dom  F  dom  G
141319.21bi 1447 . . . . . . . . . . 11  dom  F  i^i  dom  G  (/)  dom  F  dom  G
15 imnan 623 . . . . . . . . . . 11  dom  F  dom  G  dom  F  dom  G
1614, 15sylib 127 . . . . . . . . . 10  dom  F  i^i  dom  G  (/)  dom  F  dom  G
17 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
18 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
1917, 18opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  F  dom  F
20 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
2117, 20opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  G  dom  G
2219, 21anim12i 321 . . . . . . . . . 10 
<. ,  >.  F  <. ,  >.  G 
dom  F  dom  G
2316, 22nsyl 558 . . . . . . . . 9  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G
24 orel2 644 . . . . . . . . 9  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G 
<. ,  >.  F  <. ,  >.  F  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  F
2523, 24syl 14 . . . . . . . 8  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. , 
>.  F  <. ,  >.  F  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  F
2614con2d 554 . . . . . . . . . . 11  dom  F  i^i  dom  G  (/)  dom  G  dom  F
27 imnan 623 . . . . . . . . . . 11  dom  G  dom  F  dom  G  dom  F
2826, 27sylib 127 . . . . . . . . . 10  dom  F  i^i  dom  G  (/)  dom  G  dom  F
2917, 18opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  G  dom  G
3017, 20opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  F  dom  F
3129, 30anim12i 321 . . . . . . . . . 10 
<. ,  >.  G  <. ,  >.  F 
dom  G  dom  F
3228, 31nsyl 558 . . . . . . . . 9  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F
33 orel1 643 . . . . . . . . 9  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F 
<. ,  >.  G  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G  <. , 
>.  G  <. ,  >.  G
3432, 33syl 14 . . . . . . . 8  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G  <. , 
>.  G  <. ,  >.  G
3525, 34orim12d 699 . . . . . . 7  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. ,  >.  F  <. , 
>.  F  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G 
<. ,  >.  F  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G
3635adantl 262 . . . . . 6  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. ,  >.  F  <. , 
>.  F  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G 
<. ,  >.  F  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G
3711, 36syl5bi 141 . . . . 5  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. , 
>.  F  u.  G  <. ,  >.  F  u.  G  <. ,  >.  F  <. , 
>.  F  <. , 
>.  G  <. ,  >.  G
38 dffun4 4856 . . . . . . . . . 10  Fun 
F  Rel  F  <. ,  >.  F  <. , 
>.  F
3938simprbi 260 . . . . . . . . 9  Fun 
F  <. , 
>.  F  <. ,  >.  F
403919.21bi 1447 . . . . . . . 8  Fun 
F  <. ,  >.  F  <. , 
>.  F
414019.21bbi 1448 . . . . . . 7  Fun 
F  <. ,  >.  F  <. ,  >.  F
42 dffun4 4856 . . . . . . . . . 10  Fun 
G  Rel  G  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G
4342simprbi 260 . . . . . . . . 9  Fun 
G  <. , 
>.  G  <. ,  >.  G
444319.21bi 1447 . . . . . . . 8  Fun 
G  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G
454419.21bbi 1448 . . . . . . 7  Fun 
G  <. ,  >.  G  <. ,  >.  G
4641, 45jaao 638 . . . . . 6  Fun  F  Fun  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  G
4746adantr 261 . . . . 5  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. ,  >.  F  <. , 
>.  F  <. , 
>.  G  <. ,  >.  G
4837, 47syld 40 . . . 4  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. , 
>.  F  u.  G  <. ,  >.  F  u.  G
4948alrimiv 1751 . . 3  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. ,  >.  F  u.  G  <. , 
>.  F  u.  G
5049alrimivv 1752 . 2  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  <. ,  >.  F  u.  G  <. , 
>.  F  u.  G
51 dffun4 4856 . 2  Fun  F  u.  G  Rel  F  u.  G  <. ,  >.  F  u.  G  <. , 
>.  F  u.  G
526, 50, 51sylanbrc 394 1  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/) 
Fun  F  u.  G
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wo 628  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909    i^i cin 2910   (/)c0 3218   <.cop 3370   dom cdm 4288   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  funprg  4892  funtpg  4893  funtp  4895  fnun  4948  fvun1  5182
  Copyright terms: Public domain W3C validator