ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funtp Structured version   Unicode version

Theorem funtp 4895
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
funtp.1  _V
funtp.2  _V
funtp.3  C 
_V
funtp.4  D 
_V
funtp.5  E 
_V
funtp.6  F 
_V
Assertion
Ref Expression
funtp  =/=  =/=  C  =/=  C  Fun  {
<. ,  D >. , 
<. ,  E >. , 
<. C ,  F >. }

Proof of Theorem funtp
StepHypRef Expression
1 funtp.1 . . . . . 6  _V
2 funtp.2 . . . . . 6  _V
3 funtp.4 . . . . . 6  D 
_V
4 funtp.5 . . . . . 6  E 
_V
51, 2, 3, 4funpr 4894 . . . . 5  =/=  Fun  {
<. ,  D >. , 
<. ,  E >. }
6 funtp.3 . . . . . 6  C 
_V
7 funtp.6 . . . . . 6  F 
_V
86, 7funsn 4891 . . . . 5  Fun  { <. C ,  F >. }
95, 8jctir 296 . . . 4  =/=  Fun  { <. ,  D >. ,  <. ,  E >. }  Fun  { <. C ,  F >. }
103, 4dmprop 4738 . . . . . . 7  dom  { <. ,  D >. , 
<. ,  E >. }  { ,  }
11 df-pr 3374 . . . . . . 7  { ,  }  { }  u.  { }
1210, 11eqtri 2057 . . . . . 6  dom  { <. ,  D >. , 
<. ,  E >. }  { }  u.  { }
137dmsnop 4737 . . . . . 6  dom  { <. C ,  F >. }  { C }
1412, 13ineq12i 3130 . . . . 5  dom 
{ <. ,  D >. ,  <. ,  E >. }  i^i  dom  { <. C ,  F >. }  { }  u.  { }  i^i 
{ C }
15 disjsn2 3424 . . . . . . 7  =/=  C  { }  i^i  { C }  (/)
16 disjsn2 3424 . . . . . . 7  =/=  C  { }  i^i  { C }  (/)
1715, 16anim12i 321 . . . . . 6  =/=  C  =/=  C  { }  i^i  { C }  (/)  { }  i^i  { C }  (/)
18 undisj1 3273 . . . . . 6  { }  i^i  { C }  (/)  { }  i^i  { C }  (/)  { }  u.  { }  i^i  { C }  (/)
1917, 18sylib 127 . . . . 5  =/=  C  =/=  C  { }  u.  { }  i^i  { C }  (/)
2014, 19syl5eq 2081 . . . 4  =/=  C  =/=  C  dom  { <. ,  D >. ,  <. ,  E >. }  i^i  dom  {
<. C ,  F >. }  (/)
21 funun 4887 . . . 4  Fun  { <. ,  D >. ,  <. ,  E >. }  Fun  { <. C ,  F >. }  dom  { <. ,  D >. ,  <. ,  E >. }  i^i  dom  { <. C ,  F >. }  (/) 
Fun  { <. ,  D >. ,  <. ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. }
229, 20, 21syl2an 273 . . 3  =/=  =/=  C  =/=  C  Fun  { <. ,  D >. ,  <. ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. }
23223impb 1099 . 2  =/=  =/=  C  =/=  C  Fun  { <. ,  D >. ,  <. ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. }
24 df-tp 3375 . . 3  { <. ,  D >. ,  <. ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  { <. ,  D >. ,  <. ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. }
2524funeqi 4865 . 2  Fun 
{ <. ,  D >. ,  <. ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  Fun  { <. ,  D >. , 
<. ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. }
2623, 25sylibr 137 1  =/=  =/=  C  =/=  C  Fun  {
<. ,  D >. , 
<. ,  E >. , 
<. C ,  F >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201   _Vcvv 2551    u. cun 2909    i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   {ctp 3369   <.cop 3370   dom cdm 4288   Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  fntp  4899
  Copyright terms: Public domain W3C validator