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Theorem funun 4887
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))

Proof of Theorem funun
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 4862 . . . . 5 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2 funrel 4862 . . . . 5 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
31, 2anim12i 321 . . . 4 ((Fun 𝐹 Fun 𝐺) → (Rel 𝐹 Rel 𝐺))
4 relun 4397 . . . 4 (Rel (𝐹𝐺) ↔ (Rel 𝐹 Rel 𝐺))
53, 4sylibr 137 . . 3 ((Fun 𝐹 Fun 𝐺) → Rel (𝐹𝐺))
65adantr 261 . 2 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Rel (𝐹𝐺))
7 elun 3078 . . . . . . . 8 (⟨x, y (𝐹𝐺) ↔ (⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺))
8 elun 3078 . . . . . . . 8 (⟨x, z (𝐹𝐺) ↔ (⟨x, z 𝐹 x, z 𝐺))
97, 8anbi12i 433 . . . . . . 7 ((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) ↔ ((⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺) (⟨x, z 𝐹 x, z 𝐺)))
10 anddi 733 . . . . . . 7 (((⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺) (⟨x, z 𝐹 x, z 𝐺)) ↔ (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
119, 10bitri 173 . . . . . 6 ((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) ↔ (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
12 disj1 3264 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ ↔ x(x dom 𝐹 → ¬ x dom 𝐺))
1312biimpi 113 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → x(x dom 𝐹 → ¬ x dom 𝐺))
141319.21bi 1447 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (x dom 𝐹 → ¬ x dom 𝐺))
15 imnan 623 . . . . . . . . . . 11 ((x dom 𝐹 → ¬ x dom 𝐺) ↔ ¬ (x dom 𝐹 x dom 𝐺))
1614, 15sylib 127 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (x dom 𝐹 x dom 𝐺))
17 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 x V
18 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 y V
1917, 18opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, y 𝐹x dom 𝐹)
20 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 z V
2117, 20opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, z 𝐺x dom 𝐺)
2219, 21anim12i 321 . . . . . . . . . 10 ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (x dom 𝐹 x dom 𝐺))
2316, 22nsyl 558 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺))
24 orel2 644 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹)))
2523, 24syl 14 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹)))
2614con2d 554 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (x dom 𝐺 → ¬ x dom 𝐹))
27 imnan 623 . . . . . . . . . . 11 ((x dom 𝐺 → ¬ x dom 𝐹) ↔ ¬ (x dom 𝐺 x dom 𝐹))
2826, 27sylib 127 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (x dom 𝐺 x dom 𝐹))
2917, 18opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, y 𝐺x dom 𝐺)
3017, 20opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, z 𝐹x dom 𝐹)
3129, 30anim12i 321 . . . . . . . . . 10 ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) → (x dom 𝐺 x dom 𝐹))
3228, 31nsyl 558 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹))
33 orel1 643 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) → (((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)) → (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)))
3432, 33syl 14 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)) → (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)))
3525, 34orim12d 699 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ((((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
3635adantl 262 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
3711, 36syl5bi 141 . . . . 5 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
38 dffun4 4856 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 xyz((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) → y = z)))
3938simprbi 260 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹xyz((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) → y = z))
403919.21bi 1447 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹yz((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) → y = z))
414019.21bbi 1448 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) → y = z))
42 dffun4 4856 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 xyz((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺) → y = z)))
4342simprbi 260 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺xyz((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺) → y = z))
444319.21bi 1447 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺yz((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺) → y = z))
454419.21bbi 1448 . . . . . . 7 (Fun 𝐺 → ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺) → y = z))
4641, 45jaao 638 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 Fun 𝐺) → (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)) → y = z))
4746adantr 261 . . . . 5 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)) → y = z))
4837, 47syld 40 . . . 4 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → y = z))
4948alrimiv 1751 . . 3 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → z((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → y = z))
5049alrimivv 1752 . 2 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → xyz((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → y = z))
51 dffun4 4856 . 2 (Fun (𝐹𝐺) ↔ (Rel (𝐹𝐺) xyz((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → y = z)))
526, 50, 51sylanbrc 394 1 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   wo 628  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  cun 2909  cin 2910  c0 3218  cop 3370  dom cdm 4288  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  funprg  4892  funtpg  4893  funtp  4895  fnun  4948  fvun1  5182
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