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Theorem funun 4870
 Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))

Proof of Theorem funun
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 4845 . . . . 5 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2 funrel 4845 . . . . 5 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
31, 2anim12i 321 . . . 4 ((Fun 𝐹 Fun 𝐺) → (Rel 𝐹 Rel 𝐺))
4 relun 4381 . . . 4 (Rel (𝐹𝐺) ↔ (Rel 𝐹 Rel 𝐺))
53, 4sylibr 137 . . 3 ((Fun 𝐹 Fun 𝐺) → Rel (𝐹𝐺))
65adantr 261 . 2 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Rel (𝐹𝐺))
7 elun 3061 . . . . . . . 8 (⟨x, y (𝐹𝐺) ↔ (⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺))
8 elun 3061 . . . . . . . 8 (⟨x, z (𝐹𝐺) ↔ (⟨x, z 𝐹 x, z 𝐺))
97, 8anbi12i 436 . . . . . . 7 ((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) ↔ ((⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺) (⟨x, z 𝐹 x, z 𝐺)))
10 anddi 722 . . . . . . 7 (((⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺) (⟨x, z 𝐹 x, z 𝐺)) ↔ (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
119, 10bitri 173 . . . . . 6 ((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) ↔ (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
12 disj1 3247 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ ↔ x(x dom 𝐹 → ¬ x dom 𝐺))
1312biimpi 113 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → x(x dom 𝐹 → ¬ x dom 𝐺))
141319.21bi 1432 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (x dom 𝐹 → ¬ x dom 𝐺))
15 imnan 611 . . . . . . . . . . 11 ((x dom 𝐹 → ¬ x dom 𝐺) ↔ ¬ (x dom 𝐹 x dom 𝐺))
1614, 15sylib 127 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (x dom 𝐹 x dom 𝐺))
17 vex 2538 . . . . . . . . . . . 12 x V
18 vex 2538 . . . . . . . . . . . 12 y V
1917, 18opeldm 4465 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, y 𝐹x dom 𝐹)
20 vex 2538 . . . . . . . . . . . 12 z V
2117, 20opeldm 4465 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, z 𝐺x dom 𝐺)
2219, 21anim12i 321 . . . . . . . . . 10 ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (x dom 𝐹 x dom 𝐺))
2316, 22nsyl 546 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺))
24 orel2 632 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹)))
2523, 24syl 14 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹)))
2614con2d 542 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (x dom 𝐺 → ¬ x dom 𝐹))
27 imnan 611 . . . . . . . . . . 11 ((x dom 𝐺 → ¬ x dom 𝐹) ↔ ¬ (x dom 𝐺 x dom 𝐹))
2826, 27sylib 127 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (x dom 𝐺 x dom 𝐹))
2917, 18opeldm 4465 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, y 𝐺x dom 𝐺)
3017, 20opeldm 4465 . . . . . . . . . . 11 (⟨x, z 𝐹x dom 𝐹)
3129, 30anim12i 321 . . . . . . . . . 10 ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) → (x dom 𝐺 x dom 𝐹))
3228, 31nsyl 546 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹))
33 orel1 631 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) → (((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)) → (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)))
3432, 33syl 14 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)) → (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)))
3525, 34orim12d 687 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ((((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
3635adantl 262 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
3711, 36syl5bi 141 . . . . 5 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺))))
38 dffun4 4840 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 xyz((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) → y = z)))
3938simprbi 260 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹xyz((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) → y = z))
403919.21bi 1432 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹yz((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) → y = z))
414019.21bbi 1433 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) → y = z))
42 dffun4 4840 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 xyz((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺) → y = z)))
4342simprbi 260 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺xyz((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺) → y = z))
444319.21bi 1432 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺yz((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺) → y = z))
454419.21bbi 1433 . . . . . . 7 (Fun 𝐺 → ((⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺) → y = z))
4641, 45jaao 626 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 Fun 𝐺) → (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)) → y = z))
4746adantr 261 . . . . 5 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐹) (⟨x, y 𝐺 x, z 𝐺)) → y = z))
4837, 47syld 40 . . . 4 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → y = z))
4948alrimiv 1736 . . 3 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → z((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → y = z))
5049alrimivv 1737 . 2 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → xyz((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → y = z))
51 dffun4 4840 . 2 (Fun (𝐹𝐺) ↔ (Rel (𝐹𝐺) xyz((⟨x, y (𝐹𝐺) x, z (𝐹𝐺)) → y = z)))
526, 50, 51sylanbrc 396 1 (((Fun 𝐹 Fun 𝐺) (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 616  ∀wal 1226   = wceq 1228   ∈ wcel 1374   ∪ cun 2892   ∩ cin 2893  ∅c0 3201  ⟨cop 3353  dom cdm 4272  Rel wrel 4277  Fun wfun 4823 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-fun 4831 This theorem is referenced by:  funprg  4875  funtpg  4876  funtp  4878  fnun  4931  fvun1  5164
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