ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvun1 Unicode version

Theorem fvun1 5182
Description: The value of a union when the argument is in the first domain. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
fvun1  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  X  F  u.  G `  X  F `  X

Proof of Theorem fvun1
StepHypRef Expression
1 fnfun 4939 . . 3  F  Fn  Fun  F
213ad2ant1 924 . 2  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  X 
Fun  F
3 fnfun 4939 . . 3  G  Fn  Fun  G
433ad2ant2 925 . 2  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  X 
Fun  G
5 fndm 4941 . . . . . . 7  F  Fn  dom  F
6 fndm 4941 . . . . . . 7  G  Fn  dom  G
75, 6ineqan12d 3134 . . . . . 6  F  Fn  G  Fn  dom  F  i^i  dom 
G  i^i
87eqeq1d 2045 . . . . 5  F  Fn  G  Fn  dom  F  i^i  dom  G  (/)  i^i  (/)
98biimprd 147 . . . 4  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  dom  F  i^i  dom  G  (/)
109adantrd 264 . . 3  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  X  dom  F  i^i  dom  G  (/)
11103impia 1100 . 2  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  X  dom  F  i^i  dom  G  (/)
12 simp3r 932 . . 3  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  X 
X
135eleq2d 2104 . . . 4  F  Fn  X  dom  F  X
14133ad2ant1 924 . . 3  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  X  X  dom  F  X
1512, 14mpbird 156 . 2  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  X 
X  dom  F
16 funun 4887 . . . . . . 7  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/) 
Fun  F  u.  G
17 ssun1 3100 . . . . . . . . 9  F  C_  F  u.  G
18 dmss 4477 . . . . . . . . 9  F 
C_  F  u.  G  dom  F  C_ 
dom  F  u.  G
1917, 18ax-mp 7 . . . . . . . 8  dom  F  C_ 
dom  F  u.  G
2019sseli 2935 . . . . . . 7  X  dom  F 
X  dom  F  u.  G
2116, 20anim12i 321 . . . . . 6  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  Fun  F  u.  G  X  dom  F  u.  G
2221anasss 379 . . . . 5  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  Fun  F  u.  G  X  dom  F  u.  G
23223impa 1098 . . . 4  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  Fun  F  u.  G  X  dom  F  u.  G
24 funfvdm 5179 . . . 4  Fun  F  u.  G  X 
dom  F  u.  G  F  u.  G `  X 
U. F  u.  G " { X }
2523, 24syl 14 . . 3  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  F  u.  G `  X 
U. F  u.  G " { X }
26 imaundir 4680 . . . . . 6  F  u.  G
" { X }  F " { X }  u.  G " { X }
2726a1i 9 . . . . 5  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  F  u.  G " { X }  F " { X }  u.  G " { X }
2827unieqd 3582 . . . 4  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  U. F  u.  G " { X }  U. F " { X }  u.  G " { X }
29 disjel 3268 . . . . . . . . 9  dom  F  i^i  dom 
G  (/)  X  dom  F  X 
dom  G
30 ndmima 4645 . . . . . . . . 9  X  dom  G  G " { X }  (/)
3129, 30syl 14 . . . . . . . 8  dom  F  i^i  dom 
G  (/)  X  dom  F  G " { X }  (/)
32313ad2ant3 926 . . . . . . 7  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  G " { X }  (/)
3332uneq2d 3091 . . . . . 6  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  F " { X }  u.  G " { X }  F " { X }  u.  (/)
34 un0 3245 . . . . . 6  F " { X }  u.  (/)  F " { X }
3533, 34syl6eq 2085 . . . . 5  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  F " { X }  u.  G " { X }  F " { X }
3635unieqd 3582 . . . 4  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  U. F " { X }  u.  G " { X }  U. F " { X }
3728, 36eqtrd 2069 . . 3  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  U. F  u.  G " { X }  U. F " { X }
38 funfvdm 5179 . . . . . 6  Fun  F  X  dom  F  F `  X  U. F
" { X }
3938eqcomd 2042 . . . . 5  Fun  F  X  dom  F  U. F " { X }  F `  X
4039adantrl 447 . . . 4  Fun  F  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  U. F " { X }  F `  X
41403adant2 922 . . 3  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  U. F " { X }  F `  X
4225, 37, 413eqtrd 2073 . 2  Fun  F  Fun  G  dom  F  i^i  dom  G  (/)  X  dom  F  F  u.  G `  X  F `  X
432, 4, 11, 15, 42syl112anc 1138 1  F  Fn  G  Fn  i^i  (/)  X  F  u.  G `  X  F `  X
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909    i^i cin 2910    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   U.cuni 3571   dom cdm 4288   "cima 4291   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  fvun2  5183
  Copyright terms: Public domain W3C validator