ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fntpg Unicode version

Theorem fntpg 4901
Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fntpg  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }

Proof of Theorem fntpg
StepHypRef Expression
1 funtpg 4896 . 2  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  Fun  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }
2 dmsnopg 4738 . . . . . . . . . 10  F  dom  {
<. X ,  >. }  { X }
323ad2ant1 925 . . . . . . . . 9  F  G  C  H  dom  { <. X ,  >. }  { X }
4 dmsnopg 4738 . . . . . . . . . 10  G  dom  {
<. Y ,  >. }  { Y }
543ad2ant2 926 . . . . . . . . 9  F  G  C  H  dom  { <. Y ,  >. }  { Y }
63, 5jca 290 . . . . . . . 8  F  G  C  H  dom  { <. X ,  >. }  { X }  dom  {
<. Y ,  >. }  { Y }
763ad2ant2 926 . . . . . . 7  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. }  { X }  dom  { <. Y ,  >. }  { Y }
8 uneq12 3089 . . . . . . 7  dom  { <. X ,  >. }  { X }  dom  { <. Y ,  >. }  { Y }  dom  { <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X }  u.  { Y }
97, 8syl 14 . . . . . 6  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X }  u.  { Y }
10 df-pr 3377 . . . . . 6  { X ,  Y }  { X }  u.  { Y }
119, 10syl6eqr 2090 . . . . 5  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }
12 df-pr 3377 . . . . . . . 8  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }
1312dmeqi 4482 . . . . . . 7  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  dom  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }
1413eqeq1i 2047 . . . . . 6  dom 
{ <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  { X ,  Y }  dom  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }
15 dmun 4488 . . . . . . 7  dom  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }  dom  { <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }
1615eqeq1i 2047 . . . . . 6  dom  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }  dom 
{ <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }
1714, 16bitri 173 . . . . 5  dom 
{ <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  { X ,  Y }  dom 
{ <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }
1811, 17sylibr 137 . . . 4  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  { X ,  Y }
19 dmsnopg 4738 . . . . . 6  C  H  dom  {
<. Z ,  C >. }  { Z }
20193ad2ant3 927 . . . . 5  F  G  C  H  dom  { <. Z ,  C >. }  { Z }
21203ad2ant2 926 . . . 4  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. Z ,  C >. }  { Z }
2218, 21uneq12d 3095 . . 3  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. }  { X ,  Y }  u.  { Z }
23 df-tp 3378 . . . . 5  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  u.  { <. Z ,  C >. }
2423dmeqi 4482 . . . 4  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  u.  { <. Z ,  C >. }
25 dmun 4488 . . . 4  dom  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  u.  { <. Z ,  C >. }  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. }
2624, 25eqtri 2060 . . 3  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. }
27 df-tp 3378 . . 3  { X ,  Y ,  Z }  { X ,  Y }  u.  { Z }
2822, 26, 273eqtr4g 2097 . 2  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  { X ,  Y ,  Z }
29 df-fn 4851 . 2  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }  Fun  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  dom  {
<. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  { X ,  Y ,  Z }
301, 28, 29sylanbrc 394 1  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 885   wceq 1243   wcel 1393    =/= wne 2204    u. cun 2912   {csn 3370   {cpr 3371   {ctp 3372   <.cop 3373   dom cdm 4291   Fun wfun 4842    Fn wfn 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3869  ax-pow 3921  ax-pr 3938
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-tp 3378  df-op 3379  df-br 3759  df-opab 3813  df-id 4024  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-fun 4850  df-fn 4851
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator