ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fntpg Structured version   Unicode version

Theorem fntpg 4898
Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fntpg  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }

Proof of Theorem fntpg
StepHypRef Expression
1 funtpg 4893 . 2  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  Fun  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }
2 dmsnopg 4735 . . . . . . . . . 10  F  dom  {
<. X ,  >. }  { X }
323ad2ant1 924 . . . . . . . . 9  F  G  C  H  dom  { <. X ,  >. }  { X }
4 dmsnopg 4735 . . . . . . . . . 10  G  dom  {
<. Y ,  >. }  { Y }
543ad2ant2 925 . . . . . . . . 9  F  G  C  H  dom  { <. Y ,  >. }  { Y }
63, 5jca 290 . . . . . . . 8  F  G  C  H  dom  { <. X ,  >. }  { X }  dom  {
<. Y ,  >. }  { Y }
763ad2ant2 925 . . . . . . 7  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. }  { X }  dom  { <. Y ,  >. }  { Y }
8 uneq12 3086 . . . . . . 7  dom  { <. X ,  >. }  { X }  dom  { <. Y ,  >. }  { Y }  dom  { <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X }  u.  { Y }
97, 8syl 14 . . . . . 6  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X }  u.  { Y }
10 df-pr 3374 . . . . . 6  { X ,  Y }  { X }  u.  { Y }
119, 10syl6eqr 2087 . . . . 5  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }
12 df-pr 3374 . . . . . . . 8  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }
1312dmeqi 4479 . . . . . . 7  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  dom  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }
1413eqeq1i 2044 . . . . . 6  dom 
{ <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  { X ,  Y }  dom  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }
15 dmun 4485 . . . . . . 7  dom  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }  dom  { <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }
1615eqeq1i 2044 . . . . . 6  dom  { <. X ,  >. }  u.  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }  dom 
{ <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }
1714, 16bitri 173 . . . . 5  dom 
{ <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  { X ,  Y }  dom 
{ <. X ,  >. }  u.  dom  { <. Y ,  >. }  { X ,  Y }
1811, 17sylibr 137 . . . 4  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  { X ,  Y }
19 dmsnopg 4735 . . . . . 6  C  H  dom  {
<. Z ,  C >. }  { Z }
20193ad2ant3 926 . . . . 5  F  G  C  H  dom  { <. Z ,  C >. }  { Z }
21203ad2ant2 925 . . . 4  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. Z ,  C >. }  { Z }
2218, 21uneq12d 3092 . . 3  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. }  { X ,  Y }  u.  { Z }
23 df-tp 3375 . . . . 5  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  u.  { <. Z ,  C >. }
2423dmeqi 4479 . . . 4  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  u.  { <. Z ,  C >. }
25 dmun 4485 . . . 4  dom  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. }  u.  { <. Z ,  C >. }  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. }
2624, 25eqtri 2057 . . 3  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. }
27 df-tp 3375 . . 3  { X ,  Y ,  Z }  { X ,  Y }  u.  { Z }
2822, 26, 273eqtr4g 2094 . 2  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  dom  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  { X ,  Y ,  Z }
29 df-fn 4848 . 2  { <. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }  Fun  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  dom  {
<. X ,  >. , 
<. Y ,  >. , 
<. Z ,  C >. }  { X ,  Y ,  Z }
301, 28, 29sylanbrc 394 1  X  U  Y  V  Z  W  F  G  C  H  X  =/= 
Y  X  =/=  Z  Y  =/=  Z  { <. X ,  >. ,  <. Y ,  >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201    u. cun 2909   {csn 3367   {cpr 3368   {ctp 3369   <.cop 3370   dom cdm 4288   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847  df-fn 4848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator